Korelace

Šablona:Neověřeno Korelace (z lat. souvztažnost) znamená vzájemný vztah mezi dvěma náhodnými procesy nebo náhodnými veličinami. Pokud se jedna z náhodných veličin mění, mění se i druhá a naopak. Pokud se mezi dvěma náhodnými procesy identifikuje korelace, je pravděpodobné, že na sobě závisejí. Z korelovanosti náhodných procesů nebo náhodných veličin však nelze usuzovat na příčinný vztah. Tedy jeden z nich nemusí být příčinou a druhý následkem. Toto samotná korelace nedovoluje rozhodnout, jelikož korelace neimplikuje kauzalitu a ani směr kauzality.

Ve statistice se pojem korelace užívá pro vyjádření lineárního vztahu mezi náhodnými veličinami X a Y. Sílu korelace pak vyjadřuje korelační koeficient, který nabývá hodnoty −1 až +1.

Korelace ve statistice

Na obrázku je několik příkladů grafického zobrazení dat a koeficienty jejich korelace s funkcí y = x

Vztah mezi znaky či náhodnými veličinami X a Y může být kladný, pokud (přibližně) platí Y = kX, nebo záporný (Y = -kX). Hodnota korelačního koeficientu −1 značí zcela nepřímou závislost (antikorelaci), tedy čím více se zvětší hodnoty v první skupině znaků, tím více se zmenší hodnoty v druhé skupině znaků, např. vztah mezi uplynulým a zbývajícím časem. Hodnota korelačního koeficientu +1 značí zcela přímou závislost, např. vztah mezi rychlostí bicyklu a frekvencí otáček kola bicyklu. Pokud je korelační koeficient roven 0 (nekorelovanost), pak mezi znaky není žádná statisticky zjistitelná lineární závislost. Je dobré si uvědomit, že i při nulovém korelačním koeficientu na sobě veličiny mohou záviset, pouze tento vztah nelze vyjádřit lineární funkcí (např.$Y=X^2$ ), a to ani přibližně.

Pearsonův korelační koeficient

Pearsonův korelační koeficient je definován, pokud jsou druhé mocniny náhodných veličin X a Y $E(X^2),E(Y^2)$ konečné a jejich rozptyly nenulové. Vypočte se normováním kovariance tak, že ji podělíme směrodatnými odchylkami obou proměnných na bezrozměrné číslo nabývající hodnoty -1 až 1:

${\rho }_{X,Y}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}=\frac{E((X-{\mu }_X)(Y-{\mu }_Y))}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$

Jelikož ${\mu }_X=E(X)$, ${\sigma }_X^2=E(X^2)-E^2(X)$ a obdobně pro Y, lze výše uvedený vzorec upravit do přehlednějšího výpočetního tvaru:

${\rho }_{X,Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-E^2(X)}\sqrt{E(Y^2)-E^2(Y)}}$

Korelační koeficient nabývá hodnot z intervalu $⟨-1,1⟩$. Při nezávislosti náhodných veličin $X$ a $Y$ je korelační koeficient roven 0. Nulový korelační koeficient však neznamená, že jsou náhodné veličiny $X$ a $Y$ nezávislé. Nulový korelační koeficient má například dvojice náhodných veličin $X$ a $Y=X^2$.

Tuto míru asociace jako první odvodil anglický psycholog a antropolog sir Francis Galton.

Existují nicméně i jiné koeficienty asociace, například Spearmanovo rhó či Kendallovo tau pro ordinální (pořadová) data.

Korelace v teorii signálů

Šablona:Viz též

Zkrácený výraz pro korelační funkci.

Pro spojité signály $f(t)$ a $g(t)$:

$(f\star g)(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}^{*}(\tau )\cdot g(t+\tau )\mathrm{d}\tau$

Pro diskrétní signály $f_k$ a $g_k$:

$(f\star g{)}_k\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_i^{*}{g}_{k+i}$

U komplexních signálů $f^{*}$ představuje komplexně sdružené číslo k $f$.

Velmi se podobá konvoluci. Rozdíl je hlavně v časovém překlopení druhé funkce $g$.

Autokorelací se rozumí korelace $(f\star f)$. Lze tak určit tzv. soběpodobnost signálu, tedy zda se např. signál v určitých periodách opakuje.

Související články

• Charakteristika náhodné veličiny
• Korelace neimplikuje kauzalitu
• Spearmanův koeficient pořadové korelace

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat