Diracova notace

Diracova notace (nebo také Diracova symbolika) je způsob zápisu vektorů běžně používaný v kvantové mechanice a kvantové teorii pole. Jde o zápis vektorů v Hilbertově prostoru, který zavedl P.A.M. Dirac. Symbolika je též známá jako braketová.

Definice

Vektor a je označován symbolem $|a⟩$. Protože jsme v prostoru se skalárním součinem $(\cdot ,\cdot )$, je dobře definován duální vektor ${𝐚}^{*}=(𝐚,\cdot )$ a značí se $⟨a|$. Vektory se nazývají ket-vektory a duální vektory bra-vektory. Jde o slovní hříčku, protože akce bra-vektoru $⟨a|$ na ket-vektor $|b⟩$ je podle definice jejich skalární součin $⟨a|b⟩=(𝐛,𝐚)$, což se anglicky říká bracket (závorka) (obvykle uvažujeme komplexní prostory a od skalárního součinu očekáváme linearitu v b a anti-linearitu v a). Pokud souřadnice vektoru $|a⟩$ jsou v nějaké ortonormální bázi

$|a⟩=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right),$

pak souřadnice vektoru $⟨a|$ v duální bázi jsou $⟨a|=(a_1^{*},a_2^{*},\cdots ,a_n^{*})$ (* označuje komplexní sdružení). Za daných předpokladů můžeme také říct, že $⟨a|$ je hermiteovsky sdružený vektor k $|a⟩$.

Použití

Diracova symbolika je výhodná proto, že je možné zapsat operátor, jeho vlastní čísla a vektory pomocí jednoho symbolu, např.

$\hat{L}|L⟩=L|L⟩$,

kde $\hat{L}$ je operátor, $L$ představuje jeho vlastní číslo a $|L⟩$ jeho vlastní vektor.

V případě diskrétních vlastních hodnot má předchozí vztah tvar

$\hat{L}|L_n⟩=L_n|L_n⟩=L_n|n⟩$

Pro hermiteovský operátor $\hat{A}$, tzn. ${\hat{A}}^{+}=\hat{A}$, pro který platí

$\hat{A}|f⟩=|g⟩$

pak také platí

$⟨g|={(|g⟩)}^{+}={(\hat{A}|f⟩)}^{+}={(|f⟩)}^{+}{\hat{A}}^{+}=⟨f|\hat{A}$

Hermiteovské operátory tedy působí na ket-vektory zleva a na bra-vektory zprava a tyto akce jsou stejné (ve smyslu ztotožnění vektorů a duálů).

Mnoho formulí z lineární algebry se dá v Diracově notaci zapsat velmi přehledně. Například operátor ortogonální projekce na prostor, který má ortonormální bázi $|e_1⟩,\dots ,|e_k⟩$ se dá napsat jako $\sum _i|e_i⟩⟨e_i|$ (součin ket-vektoru a bra-vektoru je lineární operátor).

Odkazy

Související články

• Vektor
• Hilbertův prostor
• Operátor

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:MathWorld