Analytická geometrie

Šablona:Neověřeno Analytická geometrie (také souřadnicová geometrie nebo kartézská geometrie) je část geometrie, která zkoumá geometrické útvary v euklidovské geometrii pomocí algebraických a analytických metod.

V analytické geometrii jsou geometrické útvary v prostoru vyjadřovány čísly a rovnicemi ve zvolených souřadnicových soustavách. Mnohé problémy analytické geometrie jsou úzce svázány s lineární algebrou.

Historie

Za zakladatele analytické geometrie je považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce 1637 ve svém spisu La Géométrie.

Analytická geometrie v Euklidovském prostoru

V euklidovském prostoru obvykle máme danou soustavu souřadnic $\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$ bodů i vektorů. Velikost vektoru $(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ je $\sqrt{v_1^2+\dots +v_n^2}$ a skalární součin vektorů $(v_1,v_2,\dots ,v_n)\cdot (w_1,\dots ,w_n)=v_1{w}_1+\dots v_n{w}_n$. Přímky jsou dány jako množiny $\{a+t𝐯;t\in ℝ\}$ kde a je bod a v vektor. V dvourozměrném prostoru je navíc definována kružnice jako množina bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od jednoho bodu $(x_0,y_0)$ (středu kružnice). Její rovnice je $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$. Takto popsaný prostor, ve kterém můžeme definovat přímky, body, úhly a vzdálenosti pomocí rovnic a souřadnic, tvoří model pro euklidovské geometrie.

Vzájemná poloha geometrických útvarů

Vzájemnou polohu geometrických útvaru popsaných rovnicemi lze obvykle určit z vlastností těchto rovnic, resp. z (ne)existence jejich řešení.

Vzájemná poloha bodu a křivky

Bod může ležet buď mimo křivku, nebo na ní.
Bod A leží na křivce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice křivky získáme rovnost.

$A[x_1,\dots ,x_n],p(y_1,\dots ,y_n)=0,A\in p\iff p(x_1,\dots ,x_n)=0$

Vzájemná poloha bodu a přímky

Pokud bod leží na přímce, rozděluje ji takto na dvě polopřímky. Bod ležící mimo přímku s ní určuje jednu rovinu.
Obdobně jako u obecné křivky, bod A leží na přímce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice přímky získáme rovnost.

$A[x_1,\dots ,x_n],p:a_1{y}_1+\dots +a_n{y}_n+d=0,A\in p\iff a_1{x}_1+\dots +a_n{x}_n+d=0$

Leží-li bod mimo přímku, je možno určit jejich vzájemnou vzdálenost.

Vzájemná poloha bodu a kružnice

Obecný bod může ležet

• uvnitř kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je menší než poloměr)
• na kružnici (vzdálenost středu kružnice a bodu je rovna poloměru)
• vně kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je větší než poloměr)

Vzájemnou polohu bodu a kružnice určuje tzv. mocnost $m$ bodu ke kružnici. Máme-li kružnici určenou vztahem ${(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2=r^2$, pak mocnost bodu $[x^{\prime },y^{\prime }]$ k této kružnici se určí jako

$m={(x^{\prime }-x_0)}^2+{(y^{\prime }-y_0)}^2-r^2$

Pro $m=0$ leží bod na kružnici, pro $m>0$ leží bod vně kružnice a pro $m<0$ uvnitř kružnice.

Vzájemná poloha dvou přímek

V rovině

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě – průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Dvě přímky v rovině se dají popsat jako množina bodů $x,y$ splňujících rovnice

$y=k_{1}x+q_1$

$y=k_{2}x+q_2$

Podmínka rovnoběžnosti je $k_1=k_2$. Přímky jsou kolmé, pokud jejich směrnice $k_1,k_2$ splňují podmínku $k_1{k}_2+1=0$.

Průsečík dvou přímek získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

$x_P=\frac{q_1-q_2}{k_2-k_1}{y}_P=\frac{q_1{k}_2-q_2{k}_1}{k_2-k_1}$

V třírozměrném prostoru

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Dvě přímky mohou být zadané rovnicemi

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1=0,a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2=0$.

a

$a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_3=0,a_{4}x+b_{4}y+c_{4}z+d_4=0$

(předpokládejme, že první i druhá dvojice rovnic opravdu určuje přímku a ne rovinu nebo prázdnou množinu). Tyto dvě přímky se protínají, pokud matice

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& c_1& d_1\\ a_2& b_2& c_2& d_2\\ a_3& b_3& c_3& d_3\\ a_4& b_4& c_4& d_4\end{array}\right)$

je singulární. Přímky jsou totožné, pokud tato matice má hodnost 2. Přímky jsou rovnoběžné, pokud matice tvořená prvními třemi sloupci A má hodnost 2.

Vzájemná poloha dvou kružnic

Jako vzájemná poloha dvou kružnic se v geometrii označuje počet průsečíků a poloha dvou kružnic. Tato poloha je závislá na velikosti poloměrů jednotlivých kružnic $r_1$, $r_2$ a vzdálenosti jejich středů s.

Vzájemné polohy dvou kružnic.

Kružnice

• jsou soustředné, pokud s = 0 (viz kružnice k a k₁)
  • pokud zároveň $r_1=r_2$, pak jsou kružnice totožné a mají nekonečně mnoho společných bodů
  • v ostatních případech ($r_1\ne r_2$) nemají společný bod.
• nemají společný bod (menší kružnice leží celá uvnitř větší), pokud $0<s<|r_1-r_2|$ (viz kružnice k a k₂)
• mají vnitřní dotyk, pokud $s=|r_1-r_2|$ (viz kružnice k a k₃)
• se protínají (mají 2 společné průsečíky), pokud $|r_1-r_2|<s<r_1+r_2$ (viz kružnice k a k₄)
• mají vnější dotyk, pokud s = r₁ + r₂ (viz kružnice k a k₅)
• nemají společný bod (leží vně), pokud s > r₁ + r₂ (viz kružnice k a k₆)

Jsou-li kružnice zadány svými rovnicemi, lze jejich vzájemnou polohu určit řešením odpovídající soustavy rovnic.

Vzájemná poloha přímky a kružnice

Vzájemná poloha přímky a kružnice.

Vzájemná poloha přímky a kružnice (ležící v téže rovině) závisí na vzdálenosti s středu kružnice od přímky a poloměru $r$.

• $s>r$: přímka nemá s kružnicí žádný společný bod (tzv. vnější přímka kružnice nebo nesečna)
• $s=r$: přímka se nazývá tečnou ke kružnici a má s ní 1 společný bod dotyku
• $s<r$: přímka se nazývá sečna a má s kružnicí 2 společné body (průsečíky) a úsečka s krajními body v průsečících se nazývá tětiva (nejdelší tětiva je průměr)

Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě.

Mějme přímku zadanou směrnicovou rovnicí $y=kx+q$ a kružnici se středem v počátku a rovnicí $x^2+y^2=r^2$, pak souřadnice průsečíků, které získáme řešením této soustavy rovnic, jsou

$[-\frac{qk}{1+k^2}\pm \frac{1}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2},\frac{q}{1+k^2}\pm \frac{k}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2}]$

O poloze přímky vzhledem ke kružnici rozhoduje člen $D=r^2(1+k^2)-q^2$. Pro $D>0$ protíná přímka kružnici ve dvou různých bodech (přímka je sečnou kružnice). Pro $D=0$ mají přímka a kružnice společný právě jeden bod, tzn. přímka se kružnice pouze dotýká (přímka je tečnou kružnice). Pro $D<0$ přímka kružnici neprotíná v žádném bodě (jde o tzv. vnější přímku kružnice).

Vzájemná poloha dvou rovin v třírozměrném prostoru

Dvě různé roviny $\rho ,\sigma$ v trojrozměrném prostoru, které mají společnou přímku $p$, se nazývají různoběžné a značí $\rho \nparallel \sigma$. Přímka $p$ se nazývá průsečnice obou rovin $\rho$ a $\sigma$.

Dvě různé roviny, které nemají v prostoru žádný společný bod anebo jsou identické (totožné), se označují jako rovnoběžné.

Pokud jsou roviny popsány rovnicemi $a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1=0$ a $a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2=0$, pak se protínají, pokud tyto dvě rovnice mají společné řešení, jsou rovnoběžné pokud nemají řešení a jsou totožné, pokud druhá rovina je násobkem první rovnice.

Související články

• Geometrie
• Euklidova geometrie
• Algebraická geometrie
• Diferenciální geometrie

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat