Cantorova věta

Cantorova věta je jedním ze silných výsledků teorie množin, který je přitom dosažen jejími nejjednoduššími prostředky. Její znění je následující:
Pro libovolnou množinu $x$ má potenční množina $\mathbb{P}(x)$ obsahující všechny podmnožiny množiny $x$ vyšší mohutnost než $x$.

Význam a důsledky

Tato věta má zajímavé důsledky především pro nekonečné množiny: pro každou nekonečnou množinu existuje množina s větší mohutností (tj. množina ještě o hodně „nekonečnější“ než původní množina). Například množina všech množin přirozených čísel má větší mohutnost, než samotná množina přirozených čísel.

K důkazu sporem je použita obdoba Cantorovy diagonální metody – pro každé myslitelné vzájemně jednoznačné zobrazení množiny x na množinu $\mathbb{P}(x)$ lze sestrojit prvek množiny $\mathbb{P}(x)$, který do tohoto zobrazení nepatří.

Cantorova věta a její důsledky pro nekonečné množiny stojí na poměrně silných předpokladech – potřebují axiomaticky zaručenou existenci nekonečné množiny a existenci potenční množiny $\mathbb{P}(x)$ ke každé množině, jak je tomu například v Zermelově–Fraenkelově teorii množin s jejím axiomem nekonečna a axiomem potence. Například v alternativní teorii množin není díky odlišné axiomatické soustavě podobný výsledek dosažitelný.

V klasické intuitivní teorii množin, která nestála na axiomatických základech, ale chápala množiny jako libovolné dobře definované soubory objektů, vedla Cantorova věta ke Cantorovu paradoxu: Pokud je $𝕍$ množina všech množin, pak množina $\mathbb{P}(𝕍)$ všech jejích podmnožin má větší mohutnost než $𝕍$, což je spor.

Důkaz

Nechť $X$ je libovolná množina a $P(X)$ množina všech podmnožin $X$ (potenční množina). Tvrzení, že $P(X)$ má větší mohutnost než $X$, je ekvivalentní tomu, že neexistuje zobrazení z $X$ do $P(X)$, které by bylo na (surjektivní). Toto ukážeme sporem:

Nechť existuje zobrazení $f:X\to P(X)$, které je na. Tedy pro každý prvek $A\in P(X)$ (A je množina!) existuje nějaké $x\in X$ tak, že $f(x)=A$.

Nyní definujme podmnožinu $Y\subset X$

$Y=\{x\in X:x\notin f(x)\}$.

$Y$ obsahuje ty prvky $X$, které nejsou ve svém obrazu daném zobrazením $f$. $Y$ je zřejmě podmnožina $X$ a tedy musí existovat $y\in X$ tak, že $Y=f(y)$. Mohou tedy nastat dvě možnosti:

1. $y\in Y$, to je ale spor s definicí $Y$, podle které $y\notin f(y)$, ale $f(y)=Y$,
2. $y\notin Y$, jenže pak z definice $Y$plyne $y\in f(y)$ a podle předpokladu $Y=f(y)$ musí platit $y\in Y$, což je opět spor.

Existence zobrazení $f:X\to P(X)$, které je na, vede ke sporu a tedy $P(X)$ má vždy větší mohutnost než $X$.

Související články

• Potenční množina
• Mohutnost
• Kardinální číslo
• Kardinální aritmetika

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat