Toeplitzova matice

Toeplitzova matice, pojmenovaná po německém matematikovi Ottu Toeplitzovi, je pojem z oboru lineární algebry, který označuje zvláštní druh matic, jež jsou konstantní v rámci všech diagonál vedoucích ve směru shora zleva doprava dolů (matice s konstantními diagonálami shora zprava doleva dolů se nazývají Hankelovy). Například Toeplitzova čtvercová matice stupně 5 má tedy obecně podobu

$\left[\begin{array}{ccccc}a& b& c& d& e\\ f& a& b& c& d\\ g& f& a& b& c\\ h& g& f& a& b\\ i& h& g& f& a\end{array}\right].$

obecnější podoba Toeplitzovy čtvercové matice je

$\left[\begin{array}{cccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}& \dots & \dots & a_{-n+1}\\ a_1& a_0& a_{-1}& \ddots & & ⋮\\ a_2& a_1& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & a_{-1}& a_{-2}\\ ⋮& & \ddots & a_1& a_0& a_{-1}\\ a_{n-1}& \dots & \dots & a_2& a_1& a_0\end{array}\right]$

Tento vztah lze také vyjádřit rovností

$a_{i,j}=a_{i-1,j-1}.$ pro všechna $0<i,j\le n$

Díky speciálnímu tvaru těchto matic existují poměrně efektivní algoritmy s nimi pracující. Například Levinsonova rekurze umožňuje vyřešení příslušné (i nehomogenní) soustavy lineárních rovnic v čase $\mathrm{\Theta }(n^2)$. Její varianta také umožňuje najít determinant Toeplitzovy matice v čase $O(n^2)$.