Konvexní obal

Podobně jako je lineární obal definován pro lineární kombinace jisté množiny vektorů, lze ve vektorových prostorech definovat i obaly vektorů ve vztahu ke konvexním kombinacím.

Konvexní obal množiny vektorů v rovině. Můžeme si představit, že okraj obalu je určený gumičkou nataženou kolem vektorů.

Definice

Mějme $V$ vektorový prostor nad tělesem $T$ a ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ množinu vektorů z $V$. Množinu všech konvexních kombinací této sady vektorů nazýváme konvexní obal vektorů ${\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n$ (angl. convex span, convex hull či convex envelope). Někdy se konvexní obal zmíněných vektorů značí jako $[{\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n{]}_{\kappa }$. V matematické symbolice tedy

$[{\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n{]}_{\kappa }\equiv \left\{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\overrightarrow{x}}_i\right|(\mathrm{\forall }i\in \hat{n})({\alpha }_i\in T\wedge {\alpha }_i\ge 0)\wedge \sum _{i=1}^n{\alpha }_i=1\},$

kde $\hat{n}\equiv \{1,\dots ,n\}$.

Vlastnosti

Mějme vektorový prostor $V$ nad tělesem $T$. Pro konvexní obaly vektorů z $V$ lze odvodit mimo jiné následující vlastnosti ($\hat{n}\equiv \{1,\dots ,n\}$).

• Konvexní obal daných vektorů obsahuje i tyto vektory samotné. Neboli

$(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }i\in \hat{n})({\overrightarrow{x}}_i\in [{\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n{]}_{\kappa })$

Důkaz: Doplnit...

• Konvexní obal je skutečně konvexní množina.

Důkaz: Doplnit...

• Konvexní obal daných vektorů je nejmenší konvexní podmnožina vektorového prostoru obsahující tyto vektory, tj.

$[{\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n{]}_{\kappa }=\bigcap _{K\text{je konvexní},K\subset V,\{{\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_n\}\subset K}K$

Důkaz: Doplnit...

Související články

• lineární obal
• afinní obal