Celistvý prvek

Celistvý prvek je pojem z oboru komutativní algebry. Je-li dán komutativní okruh $S$ a jeho podokruh $R$, pak je prvek $b\in S$ celistvý nad $R$, je-li kořenem nějakého monického polynomu s koeficienty z $R$, tedy pokud existují $n\ge 1$ a $r_j\in R$ taková, že $b^n+r_{n-1}{b}^{n-1}+\cdots +r_{1}b+r_0=0$. Definice celistvého prvku se liší od definice algebraického prvku pouze v přidaném požadavku, aby byl polynom monický, z čehož plyne, že každý celistvý prvek je algebraický.

Množina prvků $S$, které jsou celistvé nad $R$, se nazývá celistvý uzávěr $R$ v $S$.

Příklady

• Celistvé prvky nad celými čísly v racionálních číslech jsou právě všechna celá čísla.
• Pro okruh $\mathbb{Q}\left(\sqrt{5}\right)$ je nad celými čísly celistvým uzávěrem okruh $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right].$