Sféra (matematika)

Perspektivní projekce kulové sféry (z nadhledu). Pro kvalitní vykreslení tvarů a čar byly využity Bézierovy křivky.

V matematice se slovem sféra označuje obvykle kulová plocha, tedy plocha tvořící povrch koule. Sféra je definována jako množina všech bodů, které se nacházejí ve vzdálenosti r (poloměr) od bodu S (střed). Sféra dimenze n se někdy značí n-sféra.

Definice

• V euklidovské geometrii a v klasické analýze je n-rozměrná sféra poloměru r definována následovně:

$S^n:=\{x\in {ℝ}^{n+1},\sum _i{x}_i^2=r^2\}$

• V topologii je n-rozměrná sféra topologický prostor homeomorfní výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně je sféra jednobodová kompaktifikace prostoru ${ℝ}^n$. Pro $n=\mathrm{\infty }$ se také definuje sféra $S^{\mathrm{\infty }}$, která je v jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.

Vlastnosti

• n-sféra je kompaktní, souvislá pro dimenzi $n>0$ a pro $n>1$ také jednoduše souvislá množina.
• Obsah (dvourozměrné euklidovské) sféry je $4\pi r^2$, obecněji je objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry poloměru r dán vztahem

$V_n(r)=\frac{2{\pi }^{\frac{n+1}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+1}{2})}{r}^n.$

• Eulerova charakteristika n-sféry je 2 pro n sudé a 0 pro n liché.
• Homologie a kohomologie n-sféry jsou netriviální pouze v dimenzi 0 a n.
• Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 2rozměrná varieta je homeomorfní 2-sféře.
• Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 3rozměrná hladká varieta je homeomorfní 3-sféře (Poincarého hypotéza, jediný ze  sedmi problémů tisíciletí, který byl zatím vyřešen).
• Jediné sféry, které mají strukturu Lieovy grupy jsou n-sféry pro n = 0, 1, 3 (jsou to sféry jednotkových reálných čísel, komplexních čísel a kvaternionů).
• Jediné sféry, které jsou úplně paralelizovatelné, jsou $S^0,S^1,S^3,S^7$ (paralelizovatelnost $S^7$ má souvislost s oktoniony).
• Na n-sféře existuje paralelní hladké nenulové vektorové pole, právě když n je liché.
• 2-sféra může mít strukturu komplexní variety

Otevřené problémy

• Homotopie sféry nejsou obecně známy.
• Maximální počet nezávislých vektorových polí na n-sféře není obecně znám.
• Počet neizomorfních diferencovatelných struktur n-sféry není obecně znám.
• Není známo, zda 6-sféra připouští strukturu komplexní variety.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat