Lagrangeova závorka

Lagrangeova závorka označuje matematický výraz podobný Poissonově závorce. Lagrangeovy závorky zavedl Joseph Louis Lagrange pro matematickou formulaci klasické mechaniky. Na rozdíl od Poissonových závorek nejsou příliš využívány.

Vyjádření v kanonických souřadnicích

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi $(q_i,p_j)$. Je-li každá z kanonických souřadnic vyjádřena jako funkce dvou proměnných $u$ a $v$, pak Lagrangeova závorka $u$ a $v$ je určena výrazem

$[u,v]=[u,v{]}_{p,q}=\sum _{i=1}^N(\frac{\partial q_i}{\partial u}\frac{\partial p_i}{\partial v}-\frac{\partial p_i}{\partial u}\frac{\partial q_i}{\partial v})$

Lze dokázat, že hodnota Lagrangeovy závorky $[u,v]$ je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.

$[u,v{]}_{p,q}=[u,v{]}_{P,Q}$

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Lagrangeova závorka vztahuje.

Související články

• Poissonova závorka