Zobrazení zdroje stránky Operátor

{{Různé významy|tento=matematickém pojmu}}
'''Operátor''' <math>\hat A</math> je v [[matematika|matematice]] [[zobrazení (matematika)|zobrazení]], které každému prvku <math>f</math> z [[prostor (matematika)|prostoru]] <math>X</math> (například [[Funkce (matematika)|funkci]]) přiřazuje prvek <math>g</math> z jiného prostoru <math>Y</math>. Zápis:
:<math>\hat A\colon X \to Y,\ f \mapsto \hat A f = g</math>,
kde <math>f \in X</math>, <math>g \in Y</math>.

Operátor se obvykle značí stříškou (toto značení je typické zejména pro [[kvantová mechanika|kvantovou mechaniku]]), například <math>\hat H</math>, <math>\hat p</math> apod.

Prvek <math>f \in X</math> se nazývá ''vzor'' (nebo ''originál''), zatímco prvek <math>g \in Y</math> se označuje jako ''obraz''. [[Množina]] prvků <math>f \in X</math>, pro něž je operátor <math>\hat A</math> definován, se nazývá ''[[definiční obor]] operátoru'' a značí se <math>\mathcal{D}(\hat A)</math>. Množina obrazů <math>g \in Y</math> všech prvků z definičního oboru operátoru se nazývá ''[[obor hodnot]] operátoru.'' Obvykle se značí <math>\mathcal{R}(\hat A)</math>.

Koncept operátoru se výrazně překrývá s pojmem [[zobrazení (matematika)|zobrazení]], avšak v matematice se termín &bdquo;operátor&ldquo; zpravidla používá v kontextu prostorů funkcí (které jsou samy zobrazeními). Pro přehlednost a odlišení této vyšší úrovně zobrazování je vhodné používat specifický termín &bdquo;operátor&ldquo;.

V matematice a [[Informatika|informatice]] se jako operátor rovněž označuje symbol matematické operace, například značka <math>+</math> pro součet (viz [[Operátor (programování)]]).

== Funkcionál ==
Pokud je <math>Y</math> množina [[reálné číslo|reálných]], případně [[komplexní číslo|komplexních čísel]] (tedy obraz <math>g</math> je reálné či komplexní číslo), pak se operátor <math>\hat A</math> nazývá (reálný či komplexní) [[funkcionál]]. Příkladem funkcionálu je [[určitý integrál]].

== Základní druhy operátorů ==
=== Totožné operátory ===
Pokud pro dva operátory <math>\hat A, \hat B</math> z <math>X</math> do <math>Y</math> platí <math>\hat A f = \hat B f</math> pro každé <math>f \in X</math>, pak jsou oba operátory '''totožné'''.

=== Operátor identity ===
Důležitým operátorem je '''operátor [[identita (matematika)|identity]]''' ('''jednotkový operátor''') <math>\hat I</math>, pro který platí
:<math>\hat I f = f</math>.

Působením operátoru identity <math>\hat I</math> tedy nedochází k žádné změně.

=== Inverzní operátor ===
Operátor <math>{\hat A}^{-1}</math> je '''inverzním operátorem''' k <math>\hat A</math>, pokud platí
:<math>\hat A {\hat A}^{-1} = {\hat A}^{-1} \hat A = \hat I</math>,
kde <math>\hat I</math> představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.

Platí vztah (mají-li obě strany smysl):
:<math>{(\hat A \hat B)}^{-1} = {\hat B}^{-1} {\hat A}^{-1}</math>.

=== Lineární operátor ===
'''Lineární operátor''' <math>\hat A\colon X \to Y</math> je operátor mezi [[vektorový prostor|vektorovými prostory]] <math>X</math> a <math>Y</math>, který splňuje vztah:
:<math>\hat A \left(\sum_i c_i f_i\right) = \sum_i c_i (\hat A f_i),</math>
kde <math>f_i</math> jsou libovolné prvky prostoru <math>X</math> a <math>c_i</math> jsou libovolné skalární koeficienty.

Linearitu operátoru <math>\hat A</math> lze ověřit pomocí následujících dvou podmínek:
# <math>\hat A(f_1 + f_2) = \hat A(f_1) + \hat A(f_2)</math> pro libovolné <math>f_1, f_2 \in X</math>,  
# <math>\hat A(c f_1) = c \hat A(f_1)</math> pro libovolné <math>c \in \mathbb{R}</math> (nebo <math>\mathbb{C}</math>, pokud jde o komplexní prostory) a <math>f_1 \in X</math>.

Příkladem lineárního operátoru je [[limita]], která působí na funkce nebo posloupnosti. Dále mezi lineární operátory patří [[derivace]], která je definována pomocí limity, a [[primitivní funkce|neurčitý integrál]], jenž je inverzním operátorem k derivaci (až na konstantu).

Nelineárním operátorem je například operátor <math>\hat A = \sin</math>. Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci <math>f</math> vyjde <math>\hat A f = \sin f</math>.

=== Antilineární operátor ===
Operátor nazýváme '''antilineární''', jestliže platí
:<math>\hat A \sum_i c_i f_i = \sum_i c_i^* \hat A f_i</math>,
kde <math>f_i</math> jsou libovolné funkce a <math>c_i^*</math> jsou koeficienty [[komplexně sdružené číslo|komplexně sdružené]] k <math>c_i</math>.

=== Spojitý operátor ===
{{Podrobně|Spojité zobrazení}}
Operátor <math>\hat A\colon X\to Y</math> mezi metrickými prostory <math>X,Y</math> je '''spojitý''' v&nbsp;bodě <math>f_0 \in X</math>, jestliže pro každou [[posloupnost]] prvků <math>\{f_n\}_{n=1}^\infty\subset X</math> splňující <math>f_n \to f_0</math>, platí také <math>\hat A f_n \to \hat A f_0</math>, tzn. <math>g_n \to g_0</math> v prostoru <math>Y</math>.

Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě <math>f_1 \in X</math>, je spojitý v každém bodě <math>f \in X</math>.

=== Omezený operátor ===
Operátor <math>\hat A</math> je '''omezený (ohraničený)''', pokud existuje <math>\mu > 0</math> takové, že pro každé <math>f \in X</math> platí
:<math>{\|\hat A f\|}_Y \leq \mu {\|f\|}_X</math>,
kde <math>{\|f\|}_X</math> je [[norma vektoru|norma]] prvku <math>f</math> v prostoru <math>X</math> a <math>{\|\hat A f\|}_Y</math> je norma prvku <math>\hat A f</math> v prostoru <math>Y</math>.

Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.

[[Infimum]] čísel <math>\mu</math> operátoru <math>\hat A</math> představuje '''normu operátoru''' <math>\|\hat A\|</math>, tzn.
:<math>\|\hat A\| = \inf\, \mu</math>.

Normu lze také získat jako [[supremum]] množiny čísel <math>{\|\hat A f\|}_Y</math> pro všechny jednotkové prvky <math>f \in X</math>, tzn.
:<math>\|\hat A\|  = \sup_{{\|f\|}_X = 1} {\|\hat A f\|}_Y</math>.

=== Operátory na Hilberových prostorech ===
Operátory na [[Hilbertův prostor|Hilbertových prostorech]] jsou klíčové v [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]]. Dále budeme využívat [[Diracova notace|Diracovu notaci]] pro zápis [[skalární součin|skalárního součinu]] <math>\langle\cdot|\cdot\rangle</math> na těchto prostorech.

==== Sdružený operátor ====
{{Podrobně|Sdružený operátor}}
Ke každému lineárnímu operátoru <math>\hat A</math> existuje '''sdružený operátor''' <math>{\hat A}^+</math>, který splňuje vztah
:<math>\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle.</math>

Platí vztahy:
:<math>\|{\hat A}^+\| = \|\hat A\|</math>,
:<math>{({\hat A}^+)}^+ = \hat A</math>,
:<math>{(\hat A + \hat B)}^+ = {\hat A}^+\!\! + {\hat B}^+,</math>
:<math>{(\hat A \hat B)}^+ = {\hat B}^+ {\hat A}^+,</math>
:<math>{(\lambda \hat A)}^+ = \lambda^* {\hat A}^+,</math>
navíc pokud existuje inverzní operátor, platí
:<math>(\hat{A}^+)^{-1} = (\hat{A}^{-1})^+</math>.

==== Symetrický operátor ====
{{Podrobně|Hermitovský operátor}}
Operátor <math>\hat A</math> se označuje jako '''symetrický''' (někdy také '''hermitovský'''), jestliže platí
:<math>\langle f|\hat A g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle</math>
pro všechna <math>f</math> a <math>g</math> z definičního oboru <math>\hat A</math>.

Operátor <math>\hat A</math> se označuje jako '''antihermitovský''', je-li operátor <math>\mathrm{i} \hat A</math> hermitovský.

==== Samosdružený operátor ====
{{Podrobně|Samosdružený operátor}}
Operátor Â se nazývá '''samosdružený''', jestliže platí
:<math>{\hat A}^+ = \hat A</math>,
přičemž požadujeme i rovnost definičních oborů. Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermitovský a symetrický ekvivalentní.

Samosdružený operátor <math>\hat A</math> je ''pozitivní'', když pro každé <math>|u\rangle</math> platí
:<math>\langle u|\hat A|u\rangle \ge 0</math>

Operátor se označuje jako ''normální'', když platí
:<math>[\hat A,{\hat A}^+] = 0</math>,
kde <math>[,]</math> označuje [[komutátor (algebra)|komutátor]].

==== Unitární operátor ====
{{Podrobně|Unitární operátor}}
Operátor <math>\hat A</math> je '''unitární''', pokud platí
:<math>{\hat A}^+ = {\hat A}^{-1}</math>.

Pro libovolný unitární operátor <math>\hat A</math> platí
:<math>\langle \hat A u|\hat A v\rangle = \langle u|v\rangle</math>.

Jestliže operátor <math>\hat M</math> splňuje vztah
:<math>\langle \hat M u|\hat M v\rangle = \langle u|v \rangle</math>,
pak operátor <math>\hat M</math> označujeme jako ''izometrický''. Izometrický operátor sice splňuje vztah <math>{\hat M}^+ \hat M = \hat I</math>, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být <math>\hat M {\hat M}^+ \ne \hat I</math>.

==== Projekční operátor ====
{{Podrobně|Projekce (lineární algebra)}}
Omezený lineární operátor <math>\hat E</math> se označuje jako '''projekční''', splňuje-li podmínku
:<math>\hat E = {\hat E}^2</math>.
Pokud navíc <math>\hat E = {\hat E}^+</math>, jde o&nbsp;'''ortogonální projekci'''.

Je-li <math>\hat E</math> projekční operátor, pak je projekčním operátorem také
:<math>{\hat E}' = \hat I - \hat E</math>,
kde <math>\hat I</math> představuje operátor identity. Platí přitom vztahy
:<math>\hat E + {\hat E}' = \hat I</math>,
:<math>\hat E {\hat E}' = 0</math>.

Je-li <math>|\psi_k\rangle</math> vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného [[Vektorový podprostor|podprostoru]] tvořeného všemi vektory [[lineární závislost|lineárně závislými]] na <math>|\psi_k\rangle</math> lze vyjádřit jako
:<math>\hat E_k = {|\psi_k\rangle}\langle\psi_k|</math>

Jestliže množina vektorů <math>\{{|\psi_k\rangle}\}</math> tvoří ortonormální [[Báze (algebra)|bázi]] podprostoru <math>H_1</math>, pak projekční operátor do <math>H_1 \subset H</math> vyjádříme jako
:<math>\sum_k \hat E_k = \sum_k {|\psi_k\rangle}\langle\psi_k|</math>.

Pokud je <math>H_1 = H</math>, pak je projekční operátor operátorem identity, takže
:<math>\sum_k {|\psi_k\rangle}\langle\psi_k| = \hat I</math>.
Tento vztah představuje tzv. ''relaci úplnosti (uzavřenosti)''.

== Operace s operátory ==
Součtem dvou operátorů <math>\hat A, \hat B</math> vznikne operátor <math>\hat C = \hat A + \hat B</math>, pro který platí
:<math>\hat C u = (\hat A + \hat B) u = \hat A u + \hat B u</math>.

Operátor <math>\hat C</math> označíme jako součin operátorů <math>\hat A</math> a <math>\hat B</math>, tzn. <math>\hat C= \hat A \hat B</math>, pokud pro každé <math>u</math> platí
:<math>\hat C u = \hat A (\hat B u)</math>.

Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, například <math>{\hat A}^2 = \hat A \hat A</math>.

Násobení operátorů není [[komutativnost|komutativní]], tedy v obecném případě pro dva operátory <math>\hat A \hat B \neq \hat B \hat A</math>. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů <math>\hat A, \hat B</math>, zavádíme tzv. ''[[Komutátor (algebra)|komutátor]] operátorů''
:<math>[\hat A,\hat B] = {[\hat A, \hat B]}_- = \hat A \hat B - \hat B \hat A</math>.
Dva komutativní operátory <math>\hat A, \hat B</math> splňují pro libovolné <math>u</math> vztah
:<math>[\hat A,\hat B] = 0</math>.

Jsou-li hermitovské operátory <math>\hat A, \hat B</math> komutativní, pak mají společné [[vlastní funkce]].

Jestliže operátory <math>\hat A, \hat B</math> komutují, tedy <math>[\hat A,\hat B]=0</math>, pak pro libovolné funkce <math>f</math>, <math>g</math> platí
:<math>[f(\hat A),g(\hat B)] = 0</math>.

Kromě komutátoru se zavádí také ''[[antikomutátor]] operátorů''
:<math>\{\hat A,\hat B\} = {[\hat A,\hat B]}_+ = \hat A \hat B + \hat B \hat A</math>.

Z definice komutátoru a antikomutátoru vzniknou následující vztahy:
:<math>[\hat A,\hat B] = -[\hat B, \hat A]</math>,
:<math>[\hat A,\hat B + \hat C] = [\hat A,\hat B] + [\hat A, \hat C]</math>,
:<math>[\hat A,\hat B \hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C] = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B\{\hat A,\hat C\}</math>,
:<math>[\hat A \hat B,\hat C] = \hat A[\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C]\hat B = \hat A \{\hat B,\hat C\} - \{\hat A,\hat C\}\hat B</math>,
:<math>\{\hat A,\hat B\} = \{\hat B,\hat A\}</math>
:<math>\{\hat A,\hat B + \hat C\} = \{\hat A,\hat B\} + \{\hat A,\hat C\}</math>,
:<math>\{\hat A,\hat B \hat C\} = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B[\hat A,\hat C] = \hat B\{\hat C,\hat A\} - [\hat B,\hat A]\hat C</math>,
:<math>\{\hat A \hat B,\hat C\} = \hat A\{\hat B,\hat C\} - [\hat A,\hat C]\hat B = \{\hat C,\hat A\}\hat B - \hat A[\hat C,\hat B]</math>.

Platí také [[Jacobiho identita]]
:<math>[\hat A,[\hat B,\hat C]] + [\hat B,[\hat C,\hat A]] + [\hat C,[\hat A,\hat B]]=0</math>.

== Použití ==
Operátory jsou nepostradatelné jak v&nbsp;[[diferenciální počet|diferenciálním počtu]] v&nbsp;matematice (například operátor [[nabla]]), tak při použití v&nbsp;[[kvantová mechanika|kvantové mechanice]] a při zjednodušování zápisu identit ([[Rovnice|rovnic]]) jinde ve [[fyzika|fyzice]].

== Související články ==

* [[Zobrazení (matematika)|Zobrazení]]
* [[Vlastní číslo]]
* [[Vektorový prostor]]
* [[Kvantová fyzika]]

{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Operátory| ]]
[[Kategorie:Funkcionální analýza]]