Zobrazení zdroje stránky Normála

'''Normála''' daného ''n''−1 [[Dimenze vektorového prostoru|dimenzionálního]] [[Vektorový podprostor|podprostoru]] v ''n''-dimenzionálním [[prostor (geometrie)|prostoru]] je [[přímka]] [[Ortogonalita|kolmá]] na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá '''normálový vektor'''. V rovinném případě je to vektor [[Ortogonalita|kolmý]] na [[přímka|přímku]], v prostorovém případě je to vektor kolmý na [[rovina|rovinu]].

Obecněji lze v jednotlivých [[bod]]ech určovat i '''normály''' jiných spojitých ''n''−1 rozměrných [[geometrický útvar|útvarů]] – tzv. [[zobecněná k-plocha|nadploch]]. Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy.

Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k [[prostorová křivka|prostorové křivce]]. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří '''normálový prostor''', např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály '''[[normálová rovina|normálovou rovinu]]'''.

== Normála plochy ==
[[Soubor:Surface_normal_illustration.svg|náhled|Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě.]]
Je-li [[rovina]] dána [[rovnice|rovnicí]] <math>ax+by+cz+d=0</math>, potom je její '''normálový vektor''' '''n''' roven <math>(a,b,c)</math>.

Je-li příslušně [[hladká plocha]] dána [[rovnice]]mi

:<math>x = x(r,s),\,</math>

:<math>y = y(r,s),\,</math>

:<math>z = z(r,s),\,</math>

potom je vektor normály až na znaménko udán jako

:<math>\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} = \left|\begin{matrix}
\frac{\partial x}{\partial r}, & \frac{\partial y}{\partial r}, & \frac{\partial z}{\partial r}\\
\frac{\partial x}{\partial s}, & \frac{\partial y}{\partial s}, & \frac{\partial z}{\partial s}\\
\mathbf{e}_1, & \mathbf{e}_2, & \mathbf{e}_3\end{matrix}\right|,</math>

což má přímé zobecnění v ''n''-rozměrném prostoru:

:<math>\mathbf{n} =  \left|\begin{matrix}
\frac{\partial x_1}{\partial p_1}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_1}\\
\dots, & \dots, & \dots \\
\frac{\partial x_1}{\partial p_{n-1}}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_{n-1}}\\
\mathbf{e}_1, & \dots, & \mathbf{e}_n\end{matrix}\right|,</math>

kde <math>p_1,\dots,p_{n-1}</math> jsou parametry plochy.

Je-li plocha dána jako množina bodů <math>(x,y,z)</math> splňujících rovnici :<math>F(x,y,z)=0</math>, potom určíme '''vektor normály''' až na znaménko jako [[gradient (matematika)|gradient]] ''F'':

:<math>\mathbf{n} = \nabla F(x,y,z)</math>.

== Normála křivky ==
Všechny [[přímka|přímky]], které prochází daným bodem [[křivka|křivky]] <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)</math>, kde <math>s</math> je [[oblouk křivky]], a jsou [[Ortogonalita|kolmé]] na [[tečný vektor]] <math>\mathbf{t}</math> v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.


'''Hlavní (první) normálou''' křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem <math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}</math>.

[[Jednotkový vektor]] <math>\mathbf{n}</math>, který má stejný směr jako vektor <math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}</math>, se nazývá ''jednotkový vektor hlavní (první) normály''. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí <math>\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{t}}{\mathrm{d}s^2}\neq 0</math>.

Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí [[Frenetovy vzorce|Frenetových vzorců]] vyjádřit jako
:<math>\mathbf{n} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}</math>,
kde <math>k_1</math> je tzv. [[první křivost]].


Vektory <math>\mathbf{t}</math> a <math>\mathbf{n}</math> jsou vzájemně [[Ortogonalita|kolmé]], tzn. <math>\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0</math>.


Pokud parametrem křivky není její [[oblouk křivky|oblouk]] <math>s</math>, ale obecný parametr <math>t</math>, tzn. křivka je dána rovnicí <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)</math>, pak je jednotkový normálový vektor <math>\mathbf{n}</math> dán vztahem
:<math>\mathbf{n} = \frac{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right)}}</math>,
kde <math>c = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}</math> pokud platí <math>\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\neq 0</math> a <math>\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\neq 0</math>.

== Související články ==
* [[Průvodní trojhran]]
* [[Frenetovy vzorce]]
* [[Binormála]]
* [[Tečna]]


{{Pahýl}}
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Geometrie]]