Zobrazení zdroje stránky Násobení

'''Násobení''' je vedle [[sčítání]] jedna ze základních početních [[Operace (matematika)|operací]] v [[aritmetika|aritmetice]]. Symbol násobení je [[·]] nebo [[×]],{{Poznámka|V&nbsp;programovacích jazycích obvykle jako operátor [[*]].}} vstupní hodnoty se nazývají '''činitelé''', výsledek násobení '''součin'''. Opakovaným násobením získáváme [[umocňování]].

Například  3 · 4 se čte „tři krát čtyři“ a je násobení činitelů 3 a 4, jejich součin je 12: 
:3 · 4 = 12
Násobení je stejně jako sčítání [[Komutativita|komutativní]], nezáleží na pořadí činitelů:
:3 · 4 = 4 · 3 = 12

== Násobení dvou přirozených čísel ==
Násobení [[přirozené číslo|přirozených čísel]] představuje jejich opakované [[sčítání]].

:<math>
\begin{matrix}
  \underbrace{b+b+\cdots+b}\\{a}\\[-4ex]
\end{matrix} = \sum_{i=1}^{a}b = a \cdot b
</math>

<math>a</math> a <math>b</math> se nazývají ''činitelé''. Výsledek, „a krát b“, se nazývá ''součin''.

Pro výše uvedený příklad součin vyjádřit opakovaným sčítáním:
:3 · 4 = 4 + 4 + 4
:4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3

Soubor násobků malých přirozených čísel se v [[didaktika matematiky|didaktice matematiky]] nazývá [[násobilka]].

== Další případy násobení ==
Při násobení více nebo mnoha čísel se používá [[Pí (písmeno)|písmeno Π]] z [[Řecké písmo|řecké abecedy]] (případně symboly jemu podobné):

: <math>3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 = \prod_{i=1}^5 (2i+1) = 10\ 395</math>
nebo také
: <math>\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \; \dots \; \cdot \frac{n+2}{n} = \prod_{i=1}^n \frac{i+2}{i} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}</math>

Existuje i zvláštní případ násobení přirozených čísel – [[faktoriál]]

: <math>1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = \prod_{i=1}^n i = n!</math>

Opakované násobení stejných činitelů obvykle nahrazujeme [[umocňování]]m
: <math>2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64</math>

Opačná operace násobení je [[dělení]].

== Používané symboly ==
Namísto 3 [[·]] 4 se někdy píše také 3 [[Kartézský součin|×]] 4, což bylo obvyklé zejména v minulosti, nyní se v matematice znak × používá speciálně pro [[kartézský součin]] množin a [[vektorový součin]] vektorů. V počítačových programech nebo na kalkulačkách se často používá znak [[*]]. Znak × či x připojený bez mezery za číslo se v běžném textu či seznamech běžně používá pro označení počtu věcí či úkonů, například „2× máslo“ v soupisu nákupu nebo „pro výstup s kočárkem stiskněte 2×“. Při násobení [[proměnná|proměnnou]] se zpravidla symbol násobení vynechává úplně, tedy píše se například (5''x'', ''xy'').

== Pravidla ==
V [[algebraické těleso|algebraickém tělese]] (např. <math>\R</math> a <math>\mathbb Q</math>) platí:

* [[Asociativita|Zákon asociativní]]: <math>a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c </math>
* [[Komutativita|Zákon komutativní]]: <math> a \cdot b = b \cdot a</math>
* [[Distributivita|Zákon distributivní]]: <math> a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c</math>
* [[Neutrální prvek]] = 1: <math> a \cdot 1 = a</math>
* [[Inverzní prvek]]: <math> a \cdot a^{-1} = 1</math>
* [[Absorbující prvek]] = 0: <math>a \cdot 0 = 0</math>

== Odkazy ==
=== Poznámky ===
{{Poznámky}}

=== Související články ===
* [[Operace (matematika)|Aritmetické operace]]
* [[Násobení matic]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* {{Wikislovník|heslo=násobení}}

{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Násobení| ]]
[[Kategorie:Aritmetika]]
[[Kategorie:Binární operace]]