Zobrazení zdroje stránky Monoid

{{Grupové struktury}}
[[Soubor:Magma to group4 cz.svg|náhled|Schéma vztahů mezi algebraickými strukturami. Výchozí je grupoid (anglicky magma) s jednou uzavřenou operací. Přidáváním dalších podmínek vznikají např. pologrupa (semigroup) a kvazigrupa (quasigroup).]]
V [[algebra|algebře]] je '''monoid''' [[algebraická struktura]] s jednou [[asociativita|asociativní]] [[binární operace|binární operací]] a [[neutrální prvek|neutrálním prvkem]]. Je to tedy [[grupoid]], jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.

== Definice ==
'''Monoid''' je [[grupoid]] (M; ·), tedy [[množina]] ''M'' s [[binární operace|binární operací]] „·“ : ''M'' × ''M'' → ''M'', a těmito axiomy:
* [[Asociativita]]: ∀ ''x'', ''y'', ''z''&nbsp;∈&nbsp;M (''x''·''y'')·''z''&nbsp;=&nbsp;''x''·(''y''·''z'')
* [[Neutrální prvek]]: (∃''e''∈ M) (∀x∈ M) ''x''·''e'' = ''e''·''x'' = ''x''.
Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice [[binární operace]].
* ∀ (''x'', ''y'' ∈ M) ''x''·''y'' ∈ M

Monoid tak je vlastně [[pologrupa]] s [[neutrální prvek|neutrálním prvkem]].

Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci [[inverzní prvek|inverzních prvků]], byla by tato struktura [[grupa|grupou]].

Monoid, jehož operace je také [[komutativita|komutativní]], se nazývá '''komutativní monoid''' nebo '''abelovský monoid'''.

== Příklady ==
* [[Přirozené číslo|Přirozená čísla]] tvoří komutativní monoid k operaci [[násobení]].
* Množina všech [[matice|matic]] ''n×n'' tvoří monoid vůči sčítání i násobení

== Homomorfismus monoidů ==
O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou [[homomorfismus|homomorfní]] jestliže existuje zobrazení ([[homomorfismus]]) ''f'': M → M' takové, že:
* ∀''x'',''y''∈M f(''x''·''y'')=f(x)∗f(y).
* f(''e'')=''e'' ', kde ''e'' je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a ''e'' ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).

Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy [[bijekce|bijektivní]] a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou [[izomorfismus|izomorfní]].

== Teorie kategorií ==
V teorii kategorií je monoid objekt v [[monoidální kategorie|monoidální kategorii]] se dvěma morfismy (v [[kategorie funktorů|kategorii funktorů]] [[přirozená transformace|přirozenými transformacemi]]) <math>(M,\mu,\eta)</math> splňující <math>\mu\circ(\eta\otimes 1)=\lambda</math>, <math>\mu\circ(1\otimes\eta)=\rho</math> a <math>\mu \circ (\mu\otimes 1)=\mu \circ (1 \otimes \mu) \circ\alpha</math>.
Morfismus <math>f:M\rightarrow M'</math> je morfismem mezi monoidy, pokud <math>\eta'=f\circ \eta</math> a <math>f\circ\mu=\mu'\circ(f\otimes f)</math>.
Monoidy v kategorii '''Set''' známé z algebry jsou příkladem kategorických monoidů, neboť '''Set''' s operací <math>\times</math> a terminálním prvkem tvoří monoidální kategorii.

== Odkazy ==

=== Související články ===
* [[Grupoid]]
* [[Pologrupa]]
* [[Grupa]] - monoid rozšířený o [[Inverzní prvek|inverzní]] operaci
* [[Volný monoid]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Algebraické struktury]]