Zobrazení zdroje stránky Kuratowského axiomy uzávěru

'''Kuratowského axiomy uzávěru''' je sada [[axiom]]ů v [[Topologie|topologii]] a příbuzných oblastech [[Matematika|matematiky]], které lze použít pro definici [[Topologický prostor|topologického prostoru]] na [[Množina|množině]]. Jsou ekvivalentní s častěji používanou definicí [[Otevřená množina|otevřené množiny]]. Axiomy formalizoval [[Kazimierz Kuratowski]],{{Sfn|Kuratowski|1922}} a myšlenku dále rozvinuli další matematici, mimo jiné [[Wacław Sierpiński]] a [[Antonio Monteiro|António Monteiro]].{{Sfn|Monteiro|1945|p=160}}

Pro definici topologické struktury lze použít i podobnou množinu axiomů, která používá duální pojem [[Vnitřek množiny|operátoru vnitřku množiny]].{{Sfn|Pervin|1964|p=44}}

== Definice ==

=== Kuratowského operátory uzávěru a jejich zeslabení ===
Nechť <math>X</math> je libovolná množina a <math>\wp(X)</math> její [[potenční množina]]. '''Kuratowského operátor uzávěru''' je [[unární operace]] <math>\mathbf{c}:\wp(X) \to \wp(X)</math> s následujícími vlastnostmi:

{{Citát v rámečku|'''[K1]''' ''Zachovává prázdnou množinu'': <math> \mathbf{c}(\varnothing) = \varnothing </math>;<br />
'''[K2]''' je ''extenzivní'': pro všechny <math>A \subseteq X</math>, je <math> A \subseteq \mathbf{c}(A)</math>;<br />
'''[K3]''' je ''idempotentní'': pro všechny <math>A \subseteq X</math>, je <math> \mathbf{c}(A) = \mathbf{c}(\mathbf{c}(A))</math>;<br />
'''[K4]''' ''zachovává'' binární sjednocení'' (je vůči němu ''[[Distributivita|distributivní]]): pro všechny <math>A,B \subseteq X</math>, <math> \mathbf{c}(A \cup B) = \mathbf{c}(A) \cup \mathbf{c}(B)</math>.}}

Důsledkem toho, že <math>\mathbf{c}</math> zachovává binární sjednocení, je{{Sfn|Pervin|1964|p=43|loc=Exercise 6}}
{{Citát v rámečku|'''[K4']''' je ''[[Monotónní funkce|monotonní]]'': <math> A \subseteq B \Rightarrow \mathbf{c}(A) \subseteq \mathbf{c}(B) </math>.}}
Pokud rovnost v '''[K4]''' nahradíme inkluzí, dostaneme slabší axiom '''[K4<nowiki>''</nowiki>]''' (''subaditivity''):
{{Citát v rámečku|'''[K4<nowiki>''</nowiki>]''' je ''subaditivní'': pro všechny <math>A,B \subseteq X</math>, <math> \mathbf{c}(A \cup B) \subseteq \mathbf{c}(A) \cup \mathbf{c}(B)</math>,}}
pak je dobře vidět, že splnění axiomů '''[K4']''' a '''[K4<nowiki>''</nowiki>]''' je ekvivalentní s '''[K4]''' (viz předposlední odstavec důkazu 2 níže).

{{Harvnb|Kuratowski|1966}} uvádí pátý (volitelný) axiom, který vyžaduje, aby jednoprvkové množiny byly stabilní vůči operaci uzávěru: pro všechny <math>x \in X</math>, <math>\mathbf{c}(\{x\}) = \{x\}</math>. Topologické prostory, které vyhovují všem pěti axiomům, nazývá ''T<sub>1</sub>-prostory'', v protikladu k obecnějším prostorům, které vyhovují pouze prvním čtyřem axiomům. Skutečně, tyto prostory odpovídají přesně [[T1 prostor|topologickým T<sub>1</sub>-prostorům]] díky obvyklé korespondenci (viz níže).{{Sfn|Kuratowski|1966|p=38}}

Pokud vynecháme požadavek '''[K3]''', pak axiomy definují '''Čechův uzávěrový operátor'''.{{Sfn|Arkhangel'skij|Fedorchuk|1990|p=25}} Pokud vynecháme '''[K1]''', pak operátor vyhovující '''[K2]''', '''[K3]''' a '''[K4']''' se nazývá '''Mooreho uzávěrový operátor'''.<ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = https://ncatlab.org/nlab/show/Moore+closure#InTermsOfClosureOperators
 | titul = Moore closure
 | datum = 2015-03-07
 | vydavatel = nLab
 | datum přístupu = 2019-08-19
 | ref = harv
}}</ref> Dvojici <math>(X, \mathbf{c})</math> nazýváme '''Kuratowského''', '''Čechův''' nebo '''Mooreův prostor uzávěrů''' podle toho, které axiomy <math>\mathbf{c}</math> splňuje.

=== Alternativní axiomatizace ===
Čtyři Kuratowského axiomy uzávěru lze nahradit jedinou podmínkou, kterou popsal Pervin:{{Sfn|Pervin|1964|p=42|loc=Exercise 5}}
{{Citát v rámečku|'''[P]''' Pro všechny <math>A,B \subseteq X</math>, <math>A \cup \mathbf{c}(A) \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(B)) = \mathbf{c}(A \cup B) \setminus \mathbf{c}(\varnothing)</math>.}}

Lze dokázat, že axiomy '''[K1]'''–'''[K4]''' vyplývají z této podmínky:

# Zvolme <math>A = B = \varnothing</math>. Pak <math>\varnothing \cup \mathbf{c}(\varnothing) \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(\varnothing)) = \mathbf{c}(\varnothing) \setminus \mathbf{c}(\varnothing) = \varnothing</math>nebo <math>\mathbf{c}(\varnothing) \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(\varnothing)) = \varnothing</math>. Z toho okamžitě plyne '''[K1]'''.
# Zvolme libovolné <math>A \subseteq X</math> a <math>B = \varnothing</math>. Pak použitím axiomu '''[K1]''', <math>A \cup \mathbf{c}(A) = \mathbf{c}(A)</math>, z čehož plyne '''[K2]'''.
# Zvolme <math>A = \varnothing</math> a libovolné <math>B \subseteq X</math>. Pak použitím axiomu '''[K1]''', <math>\mathbf{c}(\mathbf{c}(B)) = \mathbf{c}(B)</math>, což je '''[K3]'''.
# Zvolme libovolné <math>A,B \subseteq X</math>. Použitím axiomů '''[K1]'''–'''[K3]''' odvodíme '''[K4]'''.

{{Harvnb|Monteiro|1945}} alternativně navrhl slabší axiom, ze kterého vyplývají pouze axiomy '''[K2]'''–'''[K4]''':{{Sfn|Monteiro|1945|p=158}}
{{Citát v rámečku|'''[M]''' Pro všechny <math>A,B \subseteq X</math>, <math display="inline">A \cup \mathbf{c}(A)\cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(B)) \subseteq \mathbf{c}(A \cup B)</math>.}}
Axiom '''[K1]''' je nezávislý na '''[M]''' : skutečně, pokud <math>X \neq \varnothing</math>, operátor <math>\mathbf{c}^\star : \wp(X) \to \wp(X)</math> definovaný přiřazením konstanty <math>A \mapsto \mathbf{c}^\star(A) := X</math> splňuje '''[M]''' ale nezachovává prázdnou množinu, protože <math>\mathbf{c}^\star(\varnothing) = X</math>. Všimněte si, že z definice plyne, že jakýkoli operátor vyhovující '''[M]''' je Mooreho uzávěrový operátor.

M. O. Botelho a M. H. Teixeira popsali symetričtější alternativu '''[M]''', ze která vyplývají axiomy '''[K2]'''–'''[K4]''':{{Sfn|Monteiro|1945|p=160}}
{{Citát v rámečku|'''[BT]''' Pro všechny <math>A,B \subseteq X</math>, <math display="inline">A \cup B \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(A)) \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(B)) = \mathbf{c}(A \cup B)</math>.}}

== Analogické struktury ==

=== Operátory vnitřku, vnějšku a hranice ===
Duálním pojmem ke Kuratowského operátorům uzávěru je '''Kuratowského operátor vnitřku''', což je zobrazení <math>\mathbf{i} : \wp(X) \to \wp(X)</math> vyhovující následujícím požadavkům:{{Sfn|Pervin|1964|p=44}}

{{Citát v rámečku|'''[I1]''' ''Zachovává celý prostor'': <math> \mathbf{i}(X) = X </math>;<br />
'''[I2]''' je ''intenzivní'': pro všechny <math>A \subseteq X</math>, <math> \mathbf{i}(A) \subseteq A</math>;<br />
'''[I3]''' je ''idempotentní'': pro všechny <math>A \subseteq X</math>, <math> \mathbf{i}(\mathbf{i}(A)) = \mathbf{i}(A)</math>;<br />
'''[I4]''' ''Zachovává binární průniky'': pro všechny <math>A,B \subseteq X</math>, <math> \mathbf{i}(A \cap B) = \mathbf{i}(A) \cap \mathbf{i}(B)</math>.}}

Tyto operátory splňují podobné podmínky, které byly odvozeny pro Kuratowského uzávěry. Například všechny Kuratowského operátory vnitřku jsou ''izotonní'', tj. vyhovují '''[K4']''', a díky intenzivitě '''[I2]''' je možné rovnost v '''[I3]''' oslabit na jednoduchou inkluzi.

Dualita mezi Kuratowského uzávěry a vnitřky vyplývá z přirozeného '''operátoru komplementu''' na <math>\wp(X)</math>, zobrazení <math>\mathbf{n} : \wp(X) \to \wp(X)</math> zobrazující <math>A \mapsto \mathbf{n}(A):= X \setminus A</math>. Toto zobrazení je [[ortokomplement]]em na svazu potenční množiny, což znamená, že vyhovuje [[De Morganovy zákony|De Morganovým zákonům]]: pokud <math>\mathcal{I}</math> je libovolná množina indexů a <math>\{A_i\}_{i\in\mathcal I} \subseteq \wp(X)</math>, pak
<math display="block">
 \mathbf{n}\left(\bigcup_{i \in \mathcal I} A_i\right) = \bigcap_{i\in \mathcal I} \mathbf{n}(A_i), \qquad
 \mathbf{n}\left(\bigcap_{i \in \mathcal I} A_i\right) = \bigcup_{i\in \mathcal I} \mathbf{n}(A_i).
</math>

Použitím těchto zákonů a definičních vlastností <math>\mathbf{n}</math> můžeme ukázat, že jakýkoli Kuratowského vnitřek zavádí Kuratowského uzávěr (a naopak) definováním relace <math>\mathbf {c} := \mathbf{nin}</math> (a <math>\mathbf {i} := \mathbf{ncn}</math>). Každý výsledek získaný pomocí <math>\mathbf{c}</math> lze použitím těchto relací ve spojení s vlastností ortokomplementace <math>\mathbf{n}</math> převést na výsledek používající <math>\mathbf{i}</math>.

{{Harvnb|Pervin|1964}} dále popisuje analogické axiomy pro '''Kuratowského operátory vnějšku'''{{Sfn|Pervin|1964|p=44}} a '''Kuratowského operátory hranice''',{{Sfn|Pervin|1964|p=46|loc=Exercise 4}} který relací <math>\mathbf{c} := \mathbf{ne}</math> a <math>\mathbf{c}(A):= A \cup \mathbf{b}(A)</math> zavádějí také Kuratowského uzávěry.

=== Abstraktní operátory ===
{{Podrobně|Algebra vnitřků}}
Všimněte si, že axiomy '''[K1]'''–'''[K4]''' lze upravit, aby definovaly ''abstraktní'' unární operaci <math>\mathbf c : L \to L</math> na obecném omezeném svazu <math>(L,\land,\lor,\mathbf 0, \mathbf 1)</math>, formální substitucí množinově teoretický inkluze částečným uspořádáním svazu, množinově-teoretického sjednocení operací spojení, a množinově-teoretické průniky operací průseku; podobně pro axiomy '''[I1]'''–'''[I4]'''. Pokud je svaz ortodoplňkový, tyto dvě abstraktní operace indukují obvyklým způsobem jedna druhou. Abstraktní operátory uzávěru nebo vnitřku lze použít pro definici [[Zobecněná topologie|zobecněné topologie]] na svazu.

Protože v podmínkách Mooreova uzávěrového operátoru se nevyskytují žádná sjednocení ani prázdné množiny, je možné definici upravit, aby definovala abstraktní unární operátor <math>\mathbf{c} : S \to S</math> na libovolné [[Uspořádaná množina|uspořádané množině]] <math>S</math>.

== Spojitost s jinými axiomatizacemi topologie ==

=== Indukce topologie z uzávěru ===
Uzávěrový operátor přirozeně zavádí [[Topologický prostor|topologii]] takto: Nechť <math>X</math> je libovolná množina. Říkáme, že podmnožina <math> C\subseteq X </math> je '''uzavřená''' vůči Kuratowského operátoru uzávěru <math>\mathbf{c} : \wp(X) \to \wp(X)</math> právě tehdy, když je ''pevným bodem'' uvedeného operátoru nebo jinými slovy když je ''stabilní'' při použití operátoru <math>\mathbf{c}</math>, tj. <math> \mathbf{c}(C) = C </math>. Tvrzení je, že rodina všech podmnožin celého prostoru, které jsou komplementy uzavřených množin, vyhovuje třem obvyklým požadavkům na topologii, nebo ekvivalentně, že rodina <math>\mathfrak{S}[\mathbf{c}]</math> všech uzavřených množin vyhovuje následujícím podmínkám:
{{Citát v rámečku|'''[T1]''' je ''omezený [[svaz (matematika)|podsvaz]]'' <math>\wp(X)</math>, tj. <math>X,\varnothing \in\mathfrak{S}[\mathbf{c}]</math>;<br />
'''[T2]''' je ''uzavřená vůči libovolným průnikům'', tj. pokud <math>\mathcal{I}</math> je libovolná množina indexů a <math>\{C_i\}_{i\in\mathcal I} \subseteq \mathfrak{S}[\mathbf{c}]</math>, pak <math display="inline">\bigcap_{i\in\mathcal I} C_i \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}]</math>;<br />
'''[T3]''' je ''uzavřená vůči konečný sjednocení'', tj. pokud <math>\mathcal{I}</math> je konečná množina indexů a <math>\{C_i\}_{i\in\mathcal I} \subseteq \mathfrak{S}[\mathbf{c}]</math>, pak <math display="inline">\bigcup_{i\in\mathcal I} C_i \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}]</math>.|}}

Všimněte si, že, díky idempotenci '''[K3]''', můžeme stručně psát <math>\mathfrak{S}[\mathbf{c}] = \operatorname{im}(\mathbf{c})</math>.

{{Skrýt-začátek|titul=Proof 1.|expand=no|left=true}}
'''[T1] '''díky extenzivitě '''[K2]''', <math> X\subseteq\mathbf{c}(X) </math> a protože uzávěr převádí potenční množinu <math>X</math> na sebe samu (tj. obrazem jakékoli podmnožiny je podmnožina <math>X</math>), <math> \mathbf{c}(X)\subseteq X </math> máme <math> X = \mathbf{c}(X)</math>. Tedy <math> X \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}]</math>. Zachování prázdné množiny '''[K1]''' vyplývá z <math> \varnothing \in\mathfrak{S}[\mathbf{c}] </math>.

'''[T2] '''nechť dále <math> \mathcal{I} </math> je libovolná množina indexů a nechť <math> C_i </math> je uzavřená pro každé <math> i\in\mathcal{I}</math>. Z extenzivity '''[K2]''', <math display="inline"> \bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \subseteq \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i\right)</math>. Také díky izotoničnosti '''[K4']''', pokud <math display="inline">\bigcap_{i\in\mathcal I} C_i \subseteq C_i</math>pro všechny indexy <math>i \in \mathcal I</math>, pak <math display="inline"> \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \right) \subseteq \mathbf{c}(C_i) = C_i</math> pro všechna <math>i \in \mathcal I</math>, z čehož plyne <math display="inline">\mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \right) \subseteq \bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i</math>. Proto, <math display="inline"> \bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i = \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i\right) </math>, význam <math display="inline">\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}]</math>.

'''[T3] '''Konečně nechť <math> \mathcal{I} </math> je konečná množina indexů a nechť <math> C_i </math> je uzavřená pro každé <math> i\in\mathcal{I} </math>. Ze zachování binárního sjednocení '''[K4]''' a použitím [[Matematická indukce|matematické indukce]] podle počtu podmnožin, z nichž vezmeme sjednocení, dostáváme <math display="inline"> \bigcup_{i\in\mathcal{I}}C_i = \mathbf{c}\left(\bigcup_{i\in\mathcal{I}}C_i \right) </math>. Tedy <math display="inline"> \bigcup_{i\in\mathcal{I}}C_i \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}] </math>.
{{Skrýt-konec}}

=== Indukce uzávěru z topologie ===
Opačně, je-li dána rodina <math>\kappa</math> vyhovující axiomům '''[T1]'''–'''[T3]''', je možné zkonstruovat Kuratowského operátor uzávěru tímto způsobem: pokud <math>A \in \wp(X)</math> a <math>A^\uparrow = \{B \in \wp(X)\ |\ A \subseteq B \}</math> je [[Dolní a horní množina|horní množinou]] <math>A</math> vůči inkluzi, pak
<math display="block">\mathbf{c}_\kappa(A) := \bigcap_{B \in (\kappa \cap A^\uparrow)} B</math>

definuje Kuratowského operátor uzávěru <math>\mathbf{c}_\kappa</math> na <math>\wp(X)</math>.

{{Skrýt-začátek|titul=Proof 2.|expand=no|left=true}}
'''[K1] '''Protože <math>\varnothing^\uparrow = \wp(X)</math>, <math>\mathbf{c}_\kappa(\varnothing)</math> omezuje na průnik všech množin v rodině <math>\kappa</math>; ale podle axiomu '''[T1]''' je <math>\varnothing \in \kappa</math>, takže průnik se zcvrkne na prázdnou množinu a dostáváme '''[K1]'''.

'''[K2]''' Z definice <math>A^\uparrow</math> plyne, že <math>A \subseteq B</math> pro všechny <math>B \in \left(\kappa \cap A^\uparrow\right)</math>, a tedy <math>A</math> musí být obsažena v průniku všech takových množin. Odtud dostáváme extenzivitu '''[K2]'''.

'''[K3]''' Všimněte si, že pro všechny <math>A \in \wp(X)</math>, rodina <math>\mathbf{c}_\kappa(A)^\uparrow \cap \kappa</math> obsahuje <math>\mathbf{c}_\kappa(A)</math> samotný jako minimální prvek vzhledem k inkluzi. Tedy <math display="inline">\mathbf{c}_\kappa^2(A) = \bigcap_{B \in \mathbf{c}_\kappa(A)^\uparrow \cap \kappa}B = \mathbf{c}_\kappa(A)</math>, což je idempotence '''[K3]'''.

'''[K4’]''' Nechť <math>A \subseteq B \subseteq X</math>: pak <math>B^\uparrow \subseteq A^\uparrow</math>, a tedy <math>\kappa \cap B^\uparrow \subseteq \kappa \cap A^\uparrow</math>. Protože druhá rodina může obsahovat více prvků než první, najdeme <math>\mathbf{c}_\kappa(A) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(B)</math>, což je izotoničnost '''[K4']'''. Všimněte si, že z izotoničnost plyne <math>\mathbf{c}_\kappa(A) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A\cup B)</math> a <math>\mathbf{c}_\kappa(B) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A\cup B)</math>, který současně znamená <math>\mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A\cup B)</math>.

'''[K4]''' Nakonec vezmeme určité <math>A,B \in \wp(X)</math>. Z axiomu '''[T2]''' plyne <math>\mathbf{c}_\kappa(A), \mathbf{c}_\kappa(B) \in \kappa</math>; navíc, axiom '''[T2]''' vyplývá, že <math>\mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \in \kappa</math>. Díky extenzivitě '''[K2]''' máme <math>\mathbf{c}_\kappa(A) \in A^\uparrow</math> a <math>\mathbf{c}_\kappa(B) \in B^\uparrow</math>, takže <math>\mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \in \left(A^\uparrow\right) \cap \left(B^\uparrow\right)</math>. Ale <math>\left(A^\uparrow\right) \cap \left(B^\uparrow\right) = (A \cup B)^\uparrow</math>, tak, že všechno ve všech <math>\mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \in \kappa\cap (A \cup B)^\uparrow</math>. Protože <math>\mathbf{c}_\kappa(A \cup B)</math> je minimálním prvkem <math>\kappa \cap (A \cup B)^\uparrow</math> vzhledem k inkluzi, najdeme <math>\mathbf{c}_\kappa(A \cup B) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B)</math>. Bod 4 zajišťuje aditivita '''[K4]'''.
{{Skrýt-konec}}

=== Přesná korespondence mezi strukturami ===
Ve skutečnosti jsou tyto dvě komplementární konstrukce navzájem inverzní: pokud <math>\mathrm{Cls}_\text{K}(X)</math> je kolekce všech Kuratowského operátorů uzávěru na <math>X</math>, a <math>\mathrm{Atp}(X)</math> je kolekce všech rodin sestávající z komplementů všech množin v topologii, tj. kolekce všech rodin vyhovujících '''[T1]'''–'''[T3]''', pak <math>\mathfrak{S} : \mathrm{Cls}_\text{K}(X) \to \mathrm{Atp}(X)</math> takový, že <math>\mathbf{c} \mapsto \mathfrak{S}[\mathbf{c}]</math> je bijekci, jejíž inverzní popisuje vztah udělení <math>\mathfrak{C}: \kappa \mapsto \mathbf{c}_\kappa</math>.

{{Skrýt-začátek|titul=Proof 3.|expand=no|left=true}}
Nejdříve dokážeme, že <math>\mathfrak{C} \circ \mathfrak{S} = \mathfrak{1}_{\mathrm{Cls}_\text{K}(X)}</math>, operátor identity na <math>\mathrm{Cls}_\text{K}(X)</math>. Pro daný Kuratowského uzávěr <math>\mathbf{c} \in \mathrm{Cls}_\text{K}(X)</math>, definuje <math>\mathbf{c}' := \mathfrak{C}[\mathfrak{S}[\mathbf{c}]]</math>; pak, pokud <math>A \in \wp(X)</math> jeho primed uzávěr <math>\mathbf{c}'(A)</math> je průnik všech <math>\mathbf{c}</math>-stabilní množiny, které obsahuje <math>A</math>. Jeho neprimed uzávěr <math>\mathbf{c}(A)</math> vyhovuje tento popis: díky extenzivitě '''[K2]''' máme <math>A \subseteq \mathbf{c}(A)</math>, a díky idempotenci '''[K3]''' máme <math>\mathbf{c}(\mathbf{c}(A)) = \mathbf{c}(A)</math>, a tedy <math>\mathbf{c}(A) \in \left(A^\uparrow \cap \mathfrak{S}[\mathbf{c}]\right)</math>. Nyní nechť <math>C \in \left(A^\uparrow \cap \mathfrak{S}[\mathbf{c}]\right)</math> taková, že <math>A \subseteq C \subseteq \mathbf{c}(A)</math>: z izotoničnosti '''[K4']''' dostáváme <math>\mathbf{c}(A) \subseteq \mathbf{c}(C)</math>, a protože <math>\mathbf{c}(C) = C</math> docházíme k závěru, že <math>C = \mathbf{c}(A)</math>. Tedy <math>\mathbf{c}(A)</math> je minimálním prvkem <math>A^\uparrow \cap \mathfrak{S}[\mathbf{c}]</math> vzhledem k inkluzi, z čehož plyne <math>\mathbf{c}'(A) = \mathbf{c}(A)</math>.

Nyní dokážeme, že <math>\mathfrak{S} \circ \mathfrak{C} = \mathfrak{1}_{\mathrm{Atp}(X)}</math>. Pokud <math>\kappa \in \mathrm{Atp}(X)</math> a <math>\kappa':= \mathfrak{S}[\mathfrak{C}[\kappa]]</math> je rodina všech množin, které jsou stabilní vůči <math>\mathbf{c}_\kappa</math>, dostáváme, pokud oba <math>\kappa' \subseteq \kappa</math> a <math>\kappa \subseteq \kappa'</math>. Nechť <math>A \in \kappa'</math>: tedy <math>\mathbf{c}_\kappa(A) = A</math>. Protože <math>\mathbf{c}_\kappa(A)</math> je průnik libovolné podrodiny <math>\kappa</math>, a druhá je uzavřená vůči libovolným průnikům podle '''[T2]''', pak <math>A = \mathbf{c}_\kappa(A) \in \kappa</math>. Opačně, pokud <math>A \in \kappa</math>, pak <math>\mathbf{c}_\kappa(A)</math> je minimální nadmnožina <math>A</math>, která je obsažena v <math>\kappa</math>. Ale to je triviálně samotné <math>A</math>, z čehož plyne <math>A \in \kappa'</math>.
{{Skrýt-konec}}

Pozorujeme, že můžeme také rozšířit bijekci <math>\mathfrak{S}</math> na kolekci <math>\mathrm{Cls}_{\check C}(X)</math> všech Čechových uzávěrových operátorů, která striktně obsahuje <math>\mathrm{Cls}_\text{K}(X)</math>; toto rozšíření <math>\overline{\mathfrak{S}}</math> je také surjektivní, což znamená, že všechny Čechovy uzávěrové operátory na <math>X</math> indukují také topologii na <math>X</math>.{{Sfn|Arkhangel'skij|Fedorchuk|1990|p=26}} To však znamená, že <math>\overline{\mathfrak{S}}</math> už není bijekcí.

== Příklady ==
{{Pahýl část}}

* Jak je diskutováno výše, je-li dán topologický prostor <math>X</math>, můžeme definovat uzávěr jakékoli podmnožiny <math>A \subseteq X</math> jako množinu <math>\mathbf{c}(A)=\bigcap\{C\text{ uzavřená podmnožina }X| A\subseteq C\}</math>, tj. průnik všech uzavřených množin <math>X</math> které obsahují <math>A</math>. Množina <math>\mathbf{c}(A)</math> je nejmenší uzavřenou množinou <math>X</math> obsahující <math>A</math>, a operátor <math>\mathbf{c}:\wp(X) \to \wp(X)</math> je Kuratowského operátor uzávěru.
* Pokud <math>X</math> je jakákoli množina, operátory <math>\mathbf{c}_\top, \mathbf{c}_\bot : \wp(X) \to \wp(X)</math> takové, že <math display="block">\mathbf{c}_\top(A) = \begin{cases}
\varnothing & A = \varnothing, \\
X & A \neq \varnothing,
\end{cases} \qquad \mathbf{c}_\bot(A) = A\quad \forall A \in \wp(X),</math>jsou Kuratowského uzávěry. První zavádí [[Triviální topologie|indiskrétní topologii]] <math>\{\varnothing,X\}</math>, zatímco druhý zavádí [[Diskrétní topologie|diskrétní topologii]] <math>\wp(X)</math>.

* Vezmeme libovolné <math>S \subsetneq X</math>, a nechť <math>\mathbf{c}_S: \wp(X) \to \wp(X)</math> je takové, že <math>\mathbf{c}_S(A) := A \cup S</math> pro všechny <math>A \in \wp(X)</math>. Pak <math>\mathbf{c}_S</math> definuje Kuratowského uzávěr; odpovídající rodina uzavřených množin <math>\mathfrak{S}[\mathbf{c}_S]</math> se shoduje s <math>S^\uparrow</math>, rodinou všech podmnožin, které obsahují <math>S</math>. Když <math>S = \varnothing</math>, znovu získáme diskrétní topologii <math>\wp(X)</math> (tj. <math>\mathbf{c}_{\varnothing}=\mathbf{c}_\bot</math>, jak je vidět z definice).
* Pokud <math>\lambda</math> je nekonečné kardinální číslo takové, že <math>\lambda \leq \operatorname{crd}(X)</math>, pak operátor <math>\mathbf{c}_\lambda : \wp(X) \to \wp(X)</math> takový, že<math display="block">\mathbf{c}_\lambda(A) = \begin{cases}
A & \operatorname{crd}(A) < \lambda, \\
X & \operatorname{crd}(A) \geq \lambda
\end{cases}</math>vyhovuje všem čtyřem Kuratowského axiomům.<ref>Důkaz pro případ <math>\lambda = \aleph_0</math> lze nalézt v {{Citace elektronické monografie
 | titul = Is the following a Kuratowski closure operator?!
 | sborník = Stack Exchange
 | datum = 2015-11-21
 | url = https://math.stackexchange.com/q/1539449
 | ref = harv
}}</ref> Pokud <math>\lambda = \aleph_0</math>, tento operátor zavádí [[Kofinitní topologie|kofinitní topologii]] na <math>X</math>; pokud <math>\lambda = \aleph_1</math>, pak zavádí [[ko-spočetná topologie|ko-spočetnou topologii]].

== Vlastnosti ==
* Protože jakýkoli Kuratowského uzávěr je izotonní, a izotonní je zjevně i jakékoli vnoření, máme (izotonickou) [[Galoisova korespondence|Galoisova korespondenci]] <math>\langle \mathbf{c}: \wp(X) \to \mathrm{im}(\mathbf{c});\iota : \mathrm{im}(\mathbf{c}) \hookrightarrow \wp(X) \rangle</math>, za předpokladu, že chápeme <math>\wp(X)</math>jako množinu uspořádanou inkluzí, a <math>\mathrm{im}(\mathbf{c})</math> jako uspořádaná podmnožina <math>\wp(X)</math>. Skutečně lze snadno ověřit, že pro všechny <math>A \in \wp(X)</math> a <math>C \in \mathrm{im}(\mathbf{c})</math>, <math>\mathbf{c}(A) \subseteq C</math> právě tehdy, když <math>A \subseteq \iota(C)</math>.
* Pokud <math>\{A_i\}_{i\in\mathcal I}</math> je podrodina <math>\wp(X)</math>, pak <math display="block">\bigcup_{i\in\mathcal I} \mathbf{c}(A_i) \subseteq \mathbf{c}\left(\bigcup_{i\in\mathcal I} A_i\right), \qquad \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal I} A_i\right) \subseteq \bigcap_{i\in\mathcal I} \mathbf{c}(A_i). </math>
* Pokud <math>A,B \in \wp(X)</math>, pak <math>\mathbf{c}(A) \setminus \mathbf{c}(B) \subseteq \mathbf{c}(A\setminus B)</math>.

== Topologické koncepty používající uzávěr ==

=== Zjemnění a podprostory ===
Dvojice Kuratowského uzávěrů <math>\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2 : \wp(X) \to \wp(X)</math> takových, že <math>\mathbf{c}_2(A) \subseteq \mathbf{c}_1(A)</math> pro všechny <math>A \in \wp(X)</math> indukuje topologii <math>\tau_1,\tau_2</math> takovou, že <math>\tau_1 \subseteq \tau_2</math>, a naopak. Jinými slovy <math>\mathbf{c}_1</math> dominuje <math>\mathbf{c}_2</math> právě tehdy, když topologie indukovaná druhým je zjemněním topologie indukované první nebo ekvivalentně <math>\mathfrak{S}[\mathbf{c}_1] \subseteq \mathfrak{S}[\mathbf{c}_2]</math>.{{Sfn|Pervin|1964|p=43|loc=Exercise 10}} Například <math>\mathbf{c}_\top</math> jasně dominuje <math>\mathbf{c}_\bot</math>( druhý pouze je identity na <math>\wp(X)</math>). Protože ke stejnému závěr lze dojít substitucí <math>\tau_i</math> s rodinou <math>\kappa_i</math> obsahující komplementy všech členů, pokud je na <math>\mathrm{Cls}_\text{K}(X)</math> definováno částečné uspořádání <math>\mathbf{c} \leq \mathbf{c}' \iff \mathbf{c}(A) \subseteq \mathbf{c}'(A)</math> pro všechny <math>A \in \wp(X)</math> a <math>\mathrm{Atp}(X)</math> je vybavená zjemněním pořadí, pak můžeme dojít k závěru, že <math>\mathfrak{S}</math> je antitonní zobrazení mezi uspořádanými množinami.

V jakékoli indukované topologii (vzhledem k podmnožině ''A'') uzavřené množiny indukují nový uzávěrový operátor, kterým je původní uzávěrový operátor omezený na ''A'': <math> \mathbf{c}_A(B) = A \cap \mathbf{c}_X(B) </math>, pro všechny <math>B \subseteq A</math>.{{Sfn|Pervin|1964|p=49|loc=Theorem 3.4.3}}

=== Spojitá zobrazení, uzavřená zobrazení a homeomorfismy ===
Funkce <math>f:(X,\mathbf{c})\to (Y,\mathbf{c}')</math> je [[Spojité zobrazení|spojitá]] v bodě <math>p</math> právě tehdy, když <math>p\in\mathbf{c}(A) \Rightarrow f(p)\in\mathbf{c}'(f(A))</math>, a všude spojitá právě tehdy, když <math display="block">f(\mathbf{c}(A)) \subseteq \mathbf{c}'(f(A))</math> pro všechny podmnožiny <math>A \in \wp(X)</math>.{{Sfn|Pervin|1964|p=60|loc=Theorem 4.3.1}} Zobrazení <math>f</math> je uzavřené zobrazení právě tehdy, když platí opačná inkluze,{{Sfn|Pervin|1964|p=66|loc=Exercise 3}} a je [[Homeomorfismus|homeomorfismem]] právě tehdy, když je jak spojité tak uzavřené, tj. právě tehdy, když platí rovnost.{{Sfn|Pervin|1964|p=67|loc=Exercise 5}}

=== Oddělovací axiomy ===
Nechť <math>(X, \mathbf{c})</math> je Kuratowského prostor uzávěrů. Pak

* <math>X</math> je [[T0 prostor|T<sub>0</sub>-prostor]] právě tehdy, když z <math>x \neq y</math> plyne <math>\mathbf{c}(\{x\}) \neq \mathbf{c}(\{y\})</math>;{{Sfn|Pervin|1964|p=69|loc=Theorem 5.1.1}}
* <math>X</math> je [[T1 prostor|T<sub>1</sub>-prostor]] právě tehdy, když <math>\mathbf{c}(\{x\})=\{x\}</math> pro všechny <math>x \in X</math>;{{Sfn|Pervin|1964|p=70|loc=Theorem 5.1.2}}
* <math>X</math> je [[Hausdorffův prostor|T<sub>2</sub>-prostor]] právě tehdy, když z <math>x \neq y</math> vyplývá, že existuje množina <math>A \in \wp(X)</math> taková, že <math>x \notin \mathbf{c}(A)</math> a zároveň <math>y \notin \mathbf{c}(\mathbf{n}(A))</math>, kde <math>\mathbf{n}</math> je operátor množinového doplňku.<ref>Důkaz je uveden v [https://math.stackexchange.com/a/3144373/332594 tomto dokumentu].</ref>

=== Blízkost a oddělenost ===
Bod <math>p</math> je [[Blízkost (topologie)|blízký]] k podmnožině <math>A</math>, pokud <math>p\in\mathbf{c}(A).</math> To lze použít pro definici relace [[Proximitní prostor|proximity]] pro body a podmnožiny dané množiny.{{Sfn|Pervin|1964|pp=193–196}}

Dvě množiny <math>A,B \in \wp(X)</math> jsou oddělené právě tehdy, když <math>(A \cap \mathbf{c}(B)) \cup (B \cap \mathbf{c}(A)) = \varnothing</math>. Prostor <math>X</math> je [[Souvislá množina|souvislý]] právě tehdy, když jej nelze zapsat jako sjednocení dvou oddělených podmnožin.{{Sfn|Pervin|1964|p=51}}

== Odkazy ==

=== Poznámky ===
<references />

=== Reference ===
{{Překlad|en|Kuratowski closure axioms|1062626877}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Kuratowski
 | jméno = Kazimierz
 | titul = Sur l'opération A de l'Analysis Situs
 | url = http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3121.pdf
 | sborník = Fundamenta Mathematicae
 | ročník = 3
 | strany = 182–199
 | publication-date = 1922
 | orig-year = 1920
 | trans-title = On the operation A in Analysis Situs
 | jazyk = fr
 | lay-url = https://www.researchgate.net/publication/318445643_Sur_l'Operation_A_de_l'Analysis_Situs_in_French_Fund_Math_3_1922_182-199_On_the_Operation_A_in_Analysis_Situs_English_translation_by_Mark_Bowron
 | lay-source = Translation by Mark Bowron
 | lay-date = 2010
 | odkaz na autora = Kazimierz Kuratowski
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | jméno = Kazimierz
 | příjmení = Kuratowski
 | titul = Topology
 | url = https://archive.org/details/topology0000kazi
 | ročník = I
 | rok = 1966
 | vydavatel = Academic Press
 | orig-year = 1958
 | isbn = 0-12-429201-1
 | lccn = 66029221
 | odkaz na autora = Kazimierz Kuratowski
 | translator-last = Jaworowski
 | translator-first = J.
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | jméno = William J.
 | příjmení = Pervin
 | titul = Foundations of General Topology
 | url = https://archive.org/details/foundationsofgen00perv
 | rok = 1964
 | příjmení editora = Boas
 | jméno editora = Ralph P. Jr.
 | vydavatel = Academic Press
 | isbn = 9781483225159
 | lccn = 64-17796
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Arkhangel'skij
 | jméno = A.V.
 | titul = General Topology I
 | ročník = 17
 | publication-date = 1990
 | příjmení editora = Gamkrelidze
 | jméno editora = R.V.
 | orig-year = 1988
 | edice = Encyclopaedia of Mathematical Sciences
 | místo = Berlin
 | vydavatel = Springer-Verlag
 | isbn = 978-3-642-64767-3
 | lccn = 89-26209
 | příjmení2 = Fedorchuk
 | jméno2 = V.V.
 | příjmení editora2 = Arkhangel'skij
 | jméno editora2 = A.V.
 | příjmení editora3 = Pontryagin
 | jméno editora3 = L.S.
 | translator-last = O'Shea
 | translator-first = D.B.
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Monteiro
 | jméno = António
 | titul = Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome
 | datum = September 1943
 | sborník = Portugaliae mathematica
 | ročník = 4
 | číslo = 4
 | strany = 158–160
 | publication-date = 1945
 | url = http://purl.pt/2135
 | trans-title = Characterization of the operation of closure by a single axiom
 | jazyk = fr
 | zbl = 0060.39406
 | odkaz na autora = Antonio Monteiro (mathematician)
 | ref = harv
}}

=== Související články ===
* [[Topologický prostor]]

=== Externí odkazy ===
* [http://math.uga.edu/~pete/TopSection3.pdf Alternativní charakterizace topologických prostorů]
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Obecná topologie]]
[[Kategorie:Topologické prostory]]
[[Kategorie:Matematické axiomy]]