Zobrazení zdroje stránky Jonedovo lemma

V [[Matematika|matematice]] je '''Jonedovo lemma''' pravděpodobně nejdůležitějším výsledkem v [[Teorie kategorií|teorii kategorií]].<ref>{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Riehl
| jméno = Emily
| titul = Category Theory in Context
| url = http://www.math.jhu.edu/~eriehl/context.pdf
| vydavatel =
| místo =
| datum vydání =
| datum přístupu =
}}</ref> Je to abstraktní tvrzení o [[funktor]]ech druhu ''morfismy do daného objektu''. Jde o značné zobecnění [[Cayleyova věta|Cayleyho věty]] z [[teorie grup]] (pokud se grupa vezme jako miniaturní kategorie pouze s jedním objektem a pouze isomorfismy). Umožňuje [[Podkategorie|vnoření]] libovolné kategorie do [[kategorie funktorů]] (kontravariantních funktorů nad množinami) definovaných nad touto kategorií. Také objasňuje, jak se vnořená kategorie [[Reprezentativní funktor|reprezentovatelných funktorů]] a jejich [[Přirozená transformace|přirozených transformací]] chová ve vztahu k ostatním objektům v celé kategorii funktorů. Jde o důležitý nástroj, který stojí za mnoha moderními výsledky v [[Algebraická geometrie|algebraické geometrii]] a [[Teorie reprezentace|teorii reprezentace]]. Je pojmenováno po [[Nobuo Joneda|Nobuovi Jonedovi]] (anglicky psáno Yoneda).

== Obecniny ==
Jonedovo lemma naznačuje, že místo zkoumání ([[Lokálně malá kategorie|lokálně malé]]) kategorie <math> \mathcal{C} </math> by se měla studovat kategorie všech funktorů z <math> \mathcal{C} </math> do <math> \mathbf{Set} </math> ([[kategorie množin]] s [[Funkce (matematika)|funkcemi]] jako svými [[morfismus|morfismy]]). Kategorie ''Set'' je považována za veskrze dobře pochopenou kategorii a funktor z <math> \mathcal{C} </math> do <math> \mathbf{Set} </math> je možné chápat jako „reprezentaci“ <math> \mathcal{C} </math> pomocí známých struktur. Původní kategorie <math> \mathcal{C} </math> je v této kategorii obsažena, ale spolu s ní se zde objevují nové objekty, které v <math> \mathcal{C} </math> chyběly či byly „skryté“. Práce s těmito objekty často sjednocuje a zjednodušuje postup.

Tento přístup je podobný (a ve skutečnosti je zobecněním) běžnému způsobu studia [[Okruh (algebra)|okruhů]] zkoumáním jejich [[Modul (matematika)|modulů]]. Okruh nahradí kategorie <math> \mathcal{C} </math> a moduly nad tímto okruhem nahradí kategorie funktorů definovaných na <math> \mathcal{C} </math>.

== Formální znění ==
Jonedovo lemma se týká funktorů z dané kategorie <math> \mathcal{C} </math> do [[kategorie množin]], <math> \mathbf{Set} </math>. Je-li <math> \mathcal{C} </math> [[lokálně malá kategorie]] (tj. [[Zobrazení|hom-sady]] jsou skutečně množiny, nikoliv vlastní třídy), pak každý objekt <math> A </math> z <math> \mathcal{C} </math> dává vzniknout přirozenému funktoru do <math> \mathbf{Set} </math>, zvanému [[Hom funktor|hom-funktor]]. Tento funktor se značí:

: <math>h^A = \mathrm{Hom}(A,-)</math> .

Tento ([[Funktor|kovariantní]]) hom-funktor <math> h^A </math> zobrazí <math>X</math> do množiny [[morfismus|morfismů]] <math> \mathrm{Hom}(A,X) </math> a morfismus <math> f \colon X \to Y </math> na morfismus <math>f \circ -</math> (složení s <math>f</math> vlevo), který zobrazuje morfismus <math>g</math> v <math> \mathrm{Hom}(A,X) </math> na morfismus <math>f \circ g</math> v <math> \mathrm{Hom}(A,Y)</math> . Konkrétně,

: <math>h^A(f) = \mathrm{Hom}(A,f) \mbox{, neboli}</math>
: <math>h^A(f)(g) = f \circ g</math> .

Nechť je <math> F </math> libovolný funktor z <math> \mathcal{C} </math> do <math> \mathbf{Set} </math> . Pak Jonedovo lemma říká, že: {{Citát v rámečku|Pro každý objekt <math> A </math> z <math> \mathcal{C} </math> jsou [[Přirozená transformace|přirozené transformace]] <math> \operatorname{Nat}\left( h^A, F \right) \equiv \operatorname{Hom}\left( \operatorname{Hom}\left( A, - \right), F \right) </math> z <math> h^A </math> do <math> F </math> ve vzájemně jednoznačné korespondenci s prvky <math> F(A) </math>, tedy:

<math> \operatorname{Hom}\left( \operatorname{Hom}\left( A, - \right), F \right) \cong F(A) </math>.

Tento isomorfismus je navíc přirozený v <math> A </math> i <math> F </math>, pokud obě strany vezmeme jako funktory z <math> \mathcal{C} \times \textbf{Set}^\mathcal{C} </math> do <math> \textbf{Set} </math>.|}} Zápis <math> \mathbf{Set}^\mathcal{C} </math> zde označuje kategorii funktorů z <math> \mathcal{C} </math> do <math> \mathbf{Set} </math> .

Máme-li přirozenou transformaci <math>\Phi</math> z <math> h^A </math> do <math> F </math>, odpovídající prvek <math> F(A) </math> je <math> u = \Phi_A(\mathrm{id}_A)</math> ;{{Poznámka|Vzpomeňme, že <math> \Phi_A : \mathrm{Hom}(A,A) \to F(A) </math>, takže je onen poslední výraz dobře definován a zobrazuje morfismus z <math> A </math> do <math> A </math> na nějaký prvek z <math> F(A) </math>.}} dále máme-li prvek <math> u </math> z <math> F(A) </math>, odpovídající přirozenou transformaci dostaneme z <math>\Phi(f) = F(f)(u)</math> .

=== Kontravariantní verze ===
Existuje kontravariantní verze Jonedova lemmatu, která se týká [[Funktor|kontravariantních funktorů]] z <math> \mathcal{C} </math> do <math> \mathbf{Set} </math> . Tato verze zahrnuje kontravariantní hom-funktor

: <math>h_A = \mathrm{Hom}(-, A),</math>

který zobrazuje <math> X </math> na hom-sadu <math> \mathrm{Hom}(X,A) </math> . Pro libovolný kontravariantní funktor <math> G </math> z <math> \mathcal{C} </math> do <math> \mathbf{Set} </math> Jonedovo lemma říká, že

: <math>\mathrm{Nat}(h_A,G) \cong G(A).</math>

=== Ustálené názvosloví ===
Použití <math> h^A </math> pro kovariantní hom-funktor a <math>h_A</math> pro kontravariantní hom-funktor není zcela standardní. Mnoho textů a článků používá přesně opačné značení nebo úplně jiné symboly. Poslední moderní texty algebraické geometrie počínaje zakladatelskou [[Éléments de géométrie algébrique|EGA]] [[Alexander Grothendieck|Alexandra Grothendiecka]] ovšem používají stejnou konvenci jako tento článek. {{Poznámka|Důležitou výjimkou z moderních textů algebraické geometrie, jejíž konvence se liší od té použité v tomto článku, je text ''Commutative algebra with a view toward algebraic geometry'' / David Eisenbud (1995), který používá <math> h_A </math> ve smyslu kovariantního hom-funktoru. Avšak pozdější kniha ''The geometry of schemes'' / David Eisenbud, Joe Harris (1998) naopak používá <math> h_A </math> ve smyslu kontravariantního hom-funktoru.}}

Mnemotechnické „padání do něčeho“ může být užitečné pro zapamatování, že <math> h_A </math> je kontravariantní hom-funktor. Když písmeno <math> A </math> '''klesá''' (je použito jako dolní index), <math> h_A </math> přiřadí k objektu <math> X </math> morfismy z <math> X </math> '''do''' <math> A </math> .

=== Důkaz ===
Důkaz Jonedova lemmatu je vystižen následujícím [[Komutativní diagram|komutativním diagramem]]:
[[Soubor:Yoneda_lemma_cd.svg|střed| Důkaz Jonedova lemmatu ]]
Tento diagram ukazuje, že přirozená transformace <math> \Phi </math> je zcela určena <math>\Phi_A(\mathrm{id}_A)=u</math>, protože pro každý morfismus <math> f \colon A \to X </math> máme

: <math>\Phi_X(f) = (Ff)u</math> .

Navíc jakýkoli prvek <math> u \in F(A) </math> tímto způsobem definuje přirozenou transformaci. Důkaz v kontravariantním případě je zcela analogický.

=== Jonedovo vnoření ===
Důležitým zvláštním případem Jonedova lemmatu je, když je funktor <math>F</math> z <math> \mathcal{C} </math> do <math> \mathbf{Set} </math> dalším hom-funktorem <math> h^B </math> . V tomto případě kovariantní verze Jonedova lemmatu říká, že

: <math>\mathrm{Nat}(h^A,h^B) \cong \mathrm{Hom}(B,A).</math>

Tedy že přirozené transformace mezi hom-funktory jsou ve vzájemně jednoznačné korespondenci s morfismy (v opačném směru) mezi přidruženými objekty. Máme-li morfismus <math> f \colon B \to A </math>, přidružená přirozená transformace se značí <math> \mathrm{Hom}(f,-)</math> .

Pokud zobrazíme každý objekt <math> A </math> v <math> \mathcal{C} </math> na přidružený hom-funktor <math> h^A = \mathrm{Hom}(A,-) </math> a každý morfismus <math> f \colon B \to A </math> na odpovídající přirozenou transformaci <math> \mathrm{Hom}(f,-) </math>, určíme tím kontravariantní funktor <math>h^-</math> z <math> \mathcal{C} </math> do <math> \mathbf{Set}^\mathcal{C} </math>, [[kategorie funktorů]] všech (kovariantních) funktorů z <math> \mathcal{C} </math> do <math> \mathbf{Set} </math> . <math>h^-</math> se dá interpretovat jako [[Funktor|kovariantní funktor]] :

: <math>h^{-}\colon \mathcal{C}^{\text{op}} \to \mathbf{Set}^\mathcal{C}.</math>

Význam Jonedova lemmatu za těchto okolností je, že funktor <math> h^- </math> je [[Plní a věrní funktoři|plně věrný]], a proto určuje vnoření <math> \mathcal{C}^{\mathrm{op}} </math> do kategorie funktorů do <math> \mathbf{Set} </math> . Sada všech funktorů <math> \{h^A | A \in C\}</math> je podkategorií <math> \mathbf{Set}^{\mathcal{C}} </math> . Z Jonedova vnoření tedy vyplývá, že kategorie <math> \mathcal{C}^{\mathrm{op}} </math> je izomorfní ke kategorii <math>\{h^A | A \in C \}</math> .

Kontravariantní verze Jonedova lemmatu říká, že

: <math>\mathrm{Nat}(h_A,h_B) \cong \mathrm{Hom}(A,B).</math>

Proto <math> h_- </math> dává vzniknout kovariantnímu funktoru z <math> \mathcal{C} </math> do kategorie kontravariantních funktorů do <math> \mathbf{Set} </math> :

: <math>h_{-}\colon \mathcal{C} \to \mathbf{Set}^{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}.</math>

Jonedovo lemma pak říká, že každá lokálně malá kategorie <math> \mathcal{C} </math> může být vnořena do kategorie kontravariantních funktorů z <math> \mathcal{C} </math> do <math> \mathbf{Set} </math> skrz <math>h_-</math> . Tomuto se říká ''Jonedovo vnoření''.

Jonedovo vnoření je někdy označováno znakem よ, což je [[Kana (písmo)|kana]] v rámci písma [[Hiragana]], [[Yo (kana)|Jo]]. <ref>{{Citace elektronické monografie
| příjmení =
| jméno =
| titul = Yoneda embedding
| url = https://ncatlab.org/nlab/show/Yoneda+embedding#ReferencesNotation
| vydavatel = nLab
| místo =
| datum vydání =
| datum přístupu = 6. 7. 2019
}}</ref>

=== Reprezentovatelný funktor ===
Jonedovo vnoření v zásadě uvádí, že pro každou (lokálně malou) kategorii mohou být objekty v této kategorii [[Reprezentativní funktor|reprezentovány]] pomocí [[Předsvazek|předsvazků]], a to plně a věrně. Jinými slovy,

: <math>\mathrm{Nat}(h_A,P) \cong P(A).</math>

pro nějaký předsvazek ''P.'' Mnoho běžných kategorií jsou ve skutečnosti předsvazky, ba po důkladnějším prozkoumání dokonce [[Snop (matematika)|svazky]], a jelikož takové případy mají obvykle topologickou povahu, lze je obecně považovat za [[topos]]y. Jonedovo lemma pak představuje nástroj, pomocí něhož lze topologickou strukturu kategorií zkoumat.


=== Z hlediska (ko)koncového kalkulu ===
Pro dvě kategorie <math>\mathbf{C}</math> a <math>\mathbf{D}</math> se dvěma funktory <math>F, G : \mathbf{C} \to \mathbf{D}</math> lze přirozené transformace mezi nimi zapsat jako následující [[Konec (teorie kategorií)|konec]]:

: <math>\mathrm{Nat}(F, G) = \int_{c \in \mathbf{C}} \mathrm{D}(Fc, Gc)</math>

Pro všechny funktory <math>K \colon \mathbf{C}^{op} \to \mathbf{Sets}</math> a <math>H \colon \mathbf{C} \to \mathbf{Sets}</math> jsou následující vzorce jiná znění Jonedova lemmatu.<ref> {{Citace arXiv |příjmení=Loregian |jméno=Fosco |název=This is the (co)end, my only (co)friend |id=1501.02503|třída=math.CT |rok=2015 }} </ref>

: <math>
K \cong \int^{c \in \mathbf{C}} Kc \times \mathbf{C}(-,c),
\qquad
K \cong \int_{c \in \mathbf{C}} Kc^{\mathbf{C}(c,-)},
</math>

: <math>
H \cong \int^{c \in \mathbf{C}} Hc \times \mathbf{C}(c,-),
\qquad
H \cong \int_{c \in \mathbf{C}} Hc^{\mathbf{C}(-,c)}.
</math>

== Preaditivní kategorie, okruhy a moduly ==
''[[Předběžná kategorie|Preaditivní kategorie]]'' je kategorie, v které sady morfismů tvoří [[Abelova grupa|abelovské grupy]] a skládání morfismů je [[Bilineární zobrazení|bilineární]]; příkladem jsou kategorie abelovských grup nebo modulů. V preaditivní kategorii existuje jak „násobení“, tak „sčítání“ morfismů, a proto jsou preaditivní kategorie vnímány jako zobecnění [[Okruh (algebra)|okruhů]]. Okruhy jsou preaditivní kategorie s jedním objektem.

Jonedovo lemma je pravdivé i pro preaditivní kategorie, pokud si jako rozšíření zvolíme kategorii ''[[Aditivní funktor|aditivních]]'' kontravariantních funktorů z původní kategorie do kategorie abelovských grup. Jedná se o funktory, které jsou kompatibilní se sčítáním morfismů, a lze je brát jako základ ''[[kategorie modulů]]'' nad původní kategorií. Jonedovo lemma pak poskytuje přirozený recept, jak zvětšit preaditivní kategorii tak, aby tato zvětšená verze zůstala preaditivní – ve skutečnosti je zvětšená verze [[Abelovská kategorie|abelovskou kategorií]], což je mnohem silnější vlastnost. V případě okruhu <math>R</math> je rozšířená kategorie kategorií všech pravých <math>R</math>-[[Modul (matematika)|modulů]] a znění Jonedova lemmatu se redukuje na známý isomorfismus:

: <math> M \cong \mathrm{Hom}_R(R,M)</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp; pro všechny pravé <math>R</math>-moduly <math>M</math>.

== Vztah ke Cayleyově větě ==
Jak bylo uvedeno výše, Jonedovo lemma může být považováno za značné zobecnění [[Cayleyova věta|Cayleyovy věty]] z [[teorie grup]]. Aby to bylo zřejmé, nechť je <math> \mathcal{C} </math> kategorie s jediným objektem <math>*</math> s tím, že každý morfismus je [[izomorfismus]] (tj. [[Grupoid (teorie kategorií)|grupoid]] s jediným objektem). Pak <math>G=\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,*)</math> tvoří [[Grupa|grupu]] pod operací skládání a jakoukoli grupu lze tímto způsobem realizovat jako kategorii.

V tomto kontextu kovariantní funktor <math> \mathcal{C} \to \mathbf{Set} </math> sestává z množiny <math>X</math> a [[Grupový homomorfismus|grupového homomorfismu]] <math>G\to\mathrm{S}_{|X|}</math>, kde <math>\mathrm{S}_{|X|}</math> je grupa [[Permutace|permutací]] <math>X</math>; čili <math>X</math> je [[Akce grupy na množině|G-sada]] . Přirozená transformace mezi takovými funktory je to samé jako [[ekvivariantní zobrazení]] mezi <math>G</math>-sadami: množinová funkce <math>\alpha \colon X \to Y</math> s tou vlastností, že <math>\alpha(g\cdot x)=g\cdot\alpha(x)</math> pro všechna <math>g</math> v <math>G</math> a <math>x</math> v <math>X</math>. (Na levé straně rovnice <math> \cdot </math> označuje akci <math>G</math> na <math>X</math> a na pravé straně akci na <math>Y</math>.)

Nyní, kovariantní hom-funktor <math>\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,-)</math> odpovídá akci <math>G</math> na sobě samé podle násobení vlevo (kontravariantní verze odpovídá násobení vpravo). Jonedovo lemma pro <math>F=\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,-)</math> říká, že

: <math>\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,-),\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,-)) \cong \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(*,*)</math> ,

to jest, ekvivariantní zobrazení z této <math>G</math>-sady na sebe jsou v [[Bijekce|bijekci]] s <math>G</math>. Jde si však povšimnout, že a) tato zobrazení tvoří grupu podle skládání, což je [[podgrupa]] <math>\mathrm{S}_{|G|}</math> a b) funkce, která tuto bijekci určuje, je grupový [[homomorfismus]]. (V opačném směru každé <math>g</math> v <math>G</math> odpovídá ekvivariantnímu zobrazení násobení vpravo podle <math>g</math>.) Takže <math>G</math> je izomorfní k nějaké podgrupě <math>\mathrm{S}_{|G|}</math>, což je přesné znění Cayleyovy věty.

== Historie ==
Jošiki Kinošita v roce 1996 řekl, že termín „Jonedovo lemma“ začal používat [[Saunders Mac Lane]] po rozhovoru s Jonedou. <ref>{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Kinošita
| jméno = Jošiki
| titul = Prof. Nobuo Yoneda passed away
| url = http://www.mta.ca/~cat-dist/catlist/1999/yoneda
| vydavatel =
| místo =
| datum vydání = 23. 4. 1996
| datum přístupu = 21. 12. 2013
}}</ref>

== Odkazy ==
=== Poznámky ===
{{Poznámky}}

=== Reference ===
{{Překlad|en|Yoneda lemma|961053523}}
<references />

* [https://ncatlab.org/nlab/show/Yoneda+lemma Yoneda lemma] na [https://ncatlab.org/ nLab]

=== Související články ===
* [[Reprezentační věta]]

=== Externí odkazy ===
* Důkaz v [[Mizarský systém|systému Mizar]]: http://www.mizar.org/JFM/pdf/yoneda_1.pdf{{Nedostupný zdroj}}
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Teorie kategorií]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]