Zobrazení zdroje stránky Integrace racionálních funkcí

'''Integrace racionálních funkcí''' se týká [[Neurčitý integrál|neurčitého integrálu]] tvaru <math>\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,\mathrm{d}x</math>, kde <math>P(x), Q(x)</math> jsou [[polynom]]y.

[[Racionální funkce|Racionální funkci]] <math>\frac{P(x)}{Q(x)}</math> je vždy možné rozložit na [[součet]] polynomu a [[racionální funkce|ryze racionální lomené funkce]]. Racionální lomenou funkci vyjádříme jako součet [[parciální zlomek|parciálních zlomků]]. Vzhledem k tomu, že integrace polynomu je triviální, zbývá řešit integraci lomené racionální funkce, která se však v nejobecnějším případě redukuje na řešení integrálu
:<math>I_1 = \int \frac{A}{{(x-a)}^n}\,\mathrm{d}x</math>
pro [[přirozené číslo]] <math>n \ge 1</math> a <math>x \ne a</math>, a integrálu
:<math>I_2 = \int \frac{M x + N}{{(x^2 + p x + q)}^n} \,\mathrm{d}x</math>
pro přirozené číslo <math>n \ge 1</math>, přičemž [[diskriminant]] ''D'' výrazu <math>x^2 + p x + q</math> je [[záporné číslo|záporný]].

Pro integrál <math>I_1</math> dostaneme pro <math>n=1</math> aplikováním základních integračních vztahů výraz
:<math>\int \frac{A}{x-a}\,\mathrm{d}x = A \ln{|x-a|} + C</math>
pro <math>x \ne a</math>.

Pro <math>n \geq 2</math> pak pro <math>I_1</math> ze základních vztahů plyne
:<math>\int \frac{A}{{(x-a)}^n}\,\mathrm{d}x = \frac{A}{1-n}\frac{1}{{(x-a)}^{n-1}} + C</math>
pro <math>x \ne a</math>.


Integrál <math>I_2</math> pro <math>M=0, n=1</math> lze převést na integrál <math>\int \frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+a^2}</math> pomocí [[substituce (matematika)|substituce]]
:<math>x^2+px+q = {(x+\frac{p}{2})}^2-(\frac{p^2}{4}-q) = z^2+a^2</math>,
kde <math>z = x + \frac{p}{2}</math> a <math>a^2 = -(\frac{p^2}{4}-q) = -D</math>. Pomocí základních integračních vztahů pak dostaneme
:<math>\int N\frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+px+q} = N \int \frac{\,\mathrm{d}x}{{(x+\frac{p}{2})}^2 - (\frac{p^2}{4}-q)} = </math>
:<math>=N \int \frac{\,\mathrm{d}z}{z^2+a^2} = \frac{N}{a} \operatorname{arctg}\frac{z}{a} + C = \frac{N}{\sqrt{-D}} \operatorname{arctg}\frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{-D}} + C</math>

Integrál <math>I_2</math> pro <math>M \ne 0</math> a <math>n=1</math> upravíme tak, aby v [[čitatel]]i byl (až na aditivní [[konstanta|konstantu]]) násobek derivace [[jmenovatel]]e, což umožňuje úpravu
:<math>\int \frac{k f^\prime(x)+A}{f(x)}\,\mathrm{d}x = k \int \frac{f^\prime(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x + \int A f(x)\,\mathrm{d}x</math>

Řešení prvního integrálu lze najít podle základních integračních vztahů a druhý integrál je integrál typu <math>I_2</math> pro <math>M=0, n=1</math>. Využijeme-li toho, že <math>{(x^2+px+q)}^\prime=2x+p</math> a současně 

:<math>Mx+N = \frac{M}{2}\left(2x+\frac{2N}{M}\right) = \frac{M}{2}\left[(2x+p)+(\frac{2N}{M}-p)\right],</math>

pak dostáváme řešení
:<math>\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}\,\mathrm{d}x = \frac{M}{2} \int \frac{2x+p}{x^2+px+q}\,\mathrm{d}x + \frac{M}{2}(\frac{2N}{M}-p) \int \frac{\,\mathrm{d}x}{x^2 + px+q} =</math>
:<math>= \frac{M}{2} \ln{|x^2+px+q|} + A I</math>
kde <math>I</math> je integrál typu <math>I_2</math> pro <math>M=0,n=1</math>.

Integrál <math>I_2</math> pro <math>M=0, n>1</math> lze pomocí substituce <math>x-\frac{p}{2}=z, \,\mathrm{d}z=\,\mathrm{d}x</math> a <math>-(\frac{p^2}{4}-q)=a^2</math> upravit na tvar
:<math>K_n = \int \frac{N \,\mathrm{d}x}{{(x^2+px+q)}^n} = \int \frac{N \,\mathrm{d}x}{{[{(x-\frac{p}{2})}^2 - (\frac{p^2}{4}-q)]}^n} = N \int \frac{\,\mathrm{d}z}{{(z^2+a^2)}^n}</math>


Řešíme-li poslední integrál metodou [[per partes]], dostaneme rekurentní vztah
:<math>K_{n+1} = \frac{z}{2na^2 {(z^2+a^2)}^n} + \frac{2n-1}{2na^2} K_n</math>
pro <math>n \geq 1</math>. Řešení integrálu <math>K_n</math> lze pak vyjádřit prostřednictvím integrálu <math>K_1</math>, což je však integrál typu <math>I_2</math> pro <math>M=0, n=1</math>.

U integrálů <math>I_2</math>, u nichž je <math>M \neq 0, n>1</math> použijeme <math>f(x)=x^2+px+q</math>. Čitatele lze pak vyjádřit ve tvaru <math>k f^\prime(x)+A</math>. Řešení má pak tvar
:<math>\int \frac{Mx+N}{{(x^2+px+q)}^n}\,\mathrm{d}x = \int \frac{k f^\prime(x)+A}{{[f(x)]}^n}\,\mathrm{d}x = k \int \frac{f^\prime(x)}{{[f(x)]}^n}\,\mathrm{d}x + A \int \frac{\,\mathrm{d}x}{{[f(x)]}^n} = </math>
:<math>=\frac{M}{2(1-n)}\frac{1}{{(x^2+px+q)}^{n-1}} + K_n</math>,
kde <math>K_n</math> je integrál vyjádřený pomocí dříve uvedeného rekurentního vztahu.

Při integraci racionální funkci tedy nejdříve vyjádříme tuto funkci jako součet polynomu, který lze ihned integrovat, a racionální lomené funkce, kterou rozložíme na parciální zlomky. Poté integrujeme parciální zlomky, čímž získáme celé řešení integrálu původní racionální funkce.

[[Kategorie:Integrální počet]]