Zobrazení zdroje stránky Iniciální a terminální objekt

'''Iniciální objekt''' [[kategorie (matematika)|kategorie]] {{mvar|C}} je v [[Matematika|matematickém]] oboru [[teorie kategorií]] objekt {{mvar|I}} v {{mvar|C}} takový, že pro každý objekt {{mvar|X}} v {{mvar|C}}, existuje právě jeden [[morfismus]] {{math|''I'' → ''X''}}.

[[Duální (teorie kategorií)|Duálním]] pojmem je '''terminální objekt''' (také nazývaný '''terminální prvek'''): {{mvar|T}} je terminální, pokud pro každý objekt {{mvar|X}} v {{mvar|C}} existuje právě jeden morfismus {{math|''X'' → ''T''}}. Iniciální objekty se také nazývají '''koterminál''' nebo '''univerzální''', a terminální objekty se také nazývají '''finální'''.

Objekt, který je jak iniciální tak terminální, se nazývá '''nulový objekt'''.<!-- Vynecháno, protože neznám český překlad slova "pointed"  '''Pointed kategorie''' je kategorie s nulovým objektem. -->

[[Striktně iniciální objekt]] {{mvar|I}} je takový objekt, pro který každý morfismus do {{mvar|I}} je [[Izomorfismus|izomorfismem]].

== Příklady ==
* [[Prázdná množina]] je jediným iniciálním objektem v [[Kategorie množin|kategorii množin]] '''Set'''. Každá [[jednoprvková množina]] (singleton) je v této kategorii terminálním objektem; v kategorii '''Set''' neexistují žádné nulové objekty. Podobně je prázdný prostor jediným iniciálním objektem v [[Kategorie topologických prostorů|kategorii topologických prostorů]] '''Top''' a každý jednobodový prostor je terminálním objektem v této kategorii.
* V kategorii množin a relací '''[[Kategorie relací|Rel]]''' je prázdná množina jediným iniciálním objektem a jediným terminálním objektem, a je tedy jediným nulovým objektem.
<!-- Vynecháno, protože neznám český překlad slova "pointed" 
[[Soubor:Terminal and initial object.svg|náhled|vpravo|Morfismy pointed množin. Obraz platí i pro algebraické nulové objekty]]
* V kategorii [[pointed množina|pointed množin]] (jejímiž objekty jsou neprázdné množiny spolu s rozlišujícím prvkem; morfismus {{math|(''A'', ''a'')}} do {{math|(''B'', ''b'')}} je funkce {{math|''f'' : ''A'' → ''B''}} s {{math|1=''f''(''a'') = ''b''}}), každá jednoprvková množina je nulovým objektem. Podobně, v kategorii [[pointed prostor|pointed topologických prostorů]] je každá jednoprvková množina nulovým objektem.
-->
* V [[Kategorie grup|kategorii grup]] '''Grp''' je libovolná [[triviální grupa]] nulovým objektem. Triviální objekt je nulovým objektem také v [[Kategorie Abelových grup|kategorii Abelových grup]] '''Ab''', v [[Kategorie pseudookruhů|kategorii pseudookruhů]] '''Rng''', v [[Kategorie modulů|kategorii modulů]] nad okruhem '''''R''-Mod''' a v [[Kategorie vektorových prostorů|kategorii vektorových prostorů]] nad tělesem '''''K''-Vect'''. Detaily viz ''[[Nulový objekt (algebra)]]''. Odtud pochází termín „nulový objekt“.
* V [[Kategorie okruhů|kategorii okruhů]] '''Ring''' s jednotkou a s jednotkou zachovávajícími morfismy je okruh [[Celé číslo|celých čísel]] '''Z''' iniciálním objektem. [[Nulový okruh]] sestávající pouze z jediného prvku {{math|1=0 = 1}} je terminálním objektem.
* V kategorii [[polookruh]]ů '''Rig''', s jednotkou a s jednotkou zachovávajícími morfismy je iniciálním objektem polookruh [[Přirozené číslo|přirozených čísel]] '''N'''. Nulový polookruh, který je [[Nulový okruh|nulovým okruhem]] sestávajícím pouze z jediného prvku {{math|1=0 = 1}}, je terminálním objektem.
* V [[Kategorie polí|kategorii polí]] ([[Komutativní těleso|komutativních těles]]) '''Field''' neexistují žádné iniciální nebo terminální objekty. V podkategorii polí pevné [[Charakteristika (matematika)|charakteristiky]] je však [[prvotěleso]] iniciálním objektem.
* Libovolnou [[Uspořádaná množina|uspořádanou množinu]] {{math|(''P'', ≤)}} lze interpretovat jako kategorii: jejími objekty jsou prvky množiny {{math|''P''}}, a existuje jediný morfismus {{math|''x''}} do {{math|''y''}} [[právě tehdy, když]] {{math|''x'' ≤ ''y''}}. Tato kategorie má iniciální objekt právě tehdy, když {{math|''P''}} má [[Nejmenší a největší prvek|nejmenší prvek]]; a terminální objekt právě tehdy, když {{math|''P''}} má [[Nejmenší a největší prvek|největší prvek]].
* [[Kategorie malých kategorií]] '''Cat''' s [[funktor]]y jako morfismy má prázdnou kategorii, '''0''' (bez objektů a bez morfismů), jako iniciální objekt a terminální kategorie, '''1''' (s jediným objektem s jediný identickým morfismem), jako terminální objekt.
* V kategorii [[Schéma (matematika)|schémat]] Spec('''Z''') je [[Spektrum okruhu|prvočíselné spektrum]] okruhu celých čísel terminálním objektem. Prázdné schéma (rovné prvočíselnému spektru [[Nulový okruh|nulového okruhu]]) je iniciálním objektem.
* [[Limita (teorie kategorií)|Limita]] [[Diagram (teorie kategorií)|diagramu]] ''F'' může být charakterizována jako terminální objekt v [[Kategorie kuželů|kategorii kuželů]] do ''F''. Obdobně kolimita diagramu ''F'' může být charakterizována jako iniciální objekt v kategorii ko-kuželů z ''F''.
* V kategorii '''Ch<sub>''R''</sub>''' řetězových komplexů nad komutativním okruhem ''R'', nulový komplex je nulovým objektem.
* V [[Exaktní posloupnost|krátké exaktní posloupnost]] tvaru {{Nowrap|0 → ''a'' → ''b'' → ''c'' → 0}} je iniciálním a terminálním objektem anonymní nulový objekt. Toho se často používá v [[Kohomologie|teorii kohomologií]].

== Vlastnosti ==

=== Existence a jednoznačnost ===
Iniciální a terminální objekty nemusí v určité kategorii vůbec existovat. Pokud však existují, jsou v podstatě jedinečné. Speciálně pokud {{math|''I''<sub>1</sub>}} a {{math|''I''<sub>2</sub>}} jsou dva různé iniciální objekty, pak mezi nimi existuje jediný [[izomorfismus]]. Pokud navíc {{mvar|I}} je iniciálním objektem, pak libovolný objekt izomorfní s {{mvar|I}} je také iniciální objekt. Totéž platí pro terminální objekty.

Pro [[Úplná kategorie|úplné kategorie]] existuje věta o existenci iniciálních objektů. Speciálně ([[Lokálně malá kategorie|lokálně malá]]) úplná kategorie {{mvar|C}} má iniciální objekt právě tehdy, když existuje množina {{mvar|I}} (''nikoli'' [[Třída (matematika)|vlastní třída]]) a {{mvar|I}}-[[indexovaná rodina]] {{math|(''K''<sub>''i''</sub>)}} objektů kategorie {{mvar|C}} taková, že pro libovolný objekt {{mvar|X}} kategorie {{mvar|C}}, existuje alespoň jeden morfismus {{math|''K''<sub>''i''</sub> → ''X''}} pro nějaké {{math|''i'' ∈ ''I''}}.

=== Ekvivalentní formulace ===
Terminální objekty v kategorii {{mvar|C}} je možné definovat také jako [[limita (teorie kategorií)|limity]] jedinečného prázdného [[Diagram (teorie kategorií)|diagramu]] {{math|'''0''' → ''C''}}. Protože prázdná kategorie je prázdná [[diskrétní kategorie]], terminální objekt si lze představit jako [[prázdný součin]] (součin je skutečně limitou diskrétního diagramu <math>\{X_i\}</math>, obecně). A naopak, iniciální objekt je [[limita (teorie kategorií)|kolimitou]] prázdného diagramu {{math|'''0''' → ''C''}} a lze si jej představit jako [[Prázdný součet|prázdný]] [[koprodukt]] nebo kategoriální součet.

Z toho plyne, že libovolný [[funktor]], který zachovává limity, bude zobrazovat terminální objekty na terminální objekty, a libovolný funktor, který zachovává kolimity, bude zobrazovat iniciální objekty na iniciální objekty. Například iniciálním objektem v libovolné [[Konkrétní kategorie|konkrétní kategorii]] s [[Volný objekt|volnými objekty]] bude volný objekt generovaný prázdnou množinou ([[Volný objekt|volný funktor]] zachovává kolimity, protože je [[Adjungovaný funktor|zleva adjungovaný]] k [[Zapomínající funktor|zapomínajícímu funktoru]] do kategorie '''Set''').

Iniciální a terminální objekty lze charakterizovat také z hlediska [[univerzální vlastnost]]i a [[Adjungovaný funktor|adjungovaného funktoru]]. Nechť '''1''' je diskrétní kategorie s jediným objektem (označovaným symbolem •), a nechť {{math|''U'' : ''C'' → '''1'''}} je jedinečný (konstantní) funktor na '''1'''. Pak
* Iniciální objekt {{mvar|I}} v {{mvar|C}} je [[univerzální morfismus]] z • do {{mvar|U}}. Funktor, který zobrazuje • do {{mvar|I}}, je zleva adjungovaný na ''U''.
* Terminální objekt {{mvar|T}} v {{mvar|C}} je univerzální morfismus {{mvar|U}} do •. Funktor, který zobrazuje • do {{mvar|T}}, je zprava adjungovaný na {{mvar|U}}.

=== Vztah k jiným kategoriálním konstrukcím ===
Mnoho přirozených konstrukcí v teorie kategorií lze formulovat z hlediska hledání iniciálního nebo terminálního objekt ve vhodné kategorii.

* [[Univerzální morfismus]] objektu {{mvar|X}} do funktoru {{mvar|U}} lze definovat jako iniciální objekt v [[Čárková kategorie|čárkové kategorii]] {{math|(''X'' ↓ ''U'')}}. A naopak, univerzální morfismus {{mvar|U}} do {{mvar|X}} je terminálním objektem v {{math|(''U'' ↓ ''X'')}}.
* Limita diagramu {{mvar|F}} je terminálním objektem v {{math|Cone(''F'')}} [[kategorie kuželů]] do {{mvar|F}}. A naopak, kolimita diagramu {{mvar|F}} je iniciálním objektem v kategorii kuželů z {{mvar|F}}.
* [[Reprezentovatelný funktor|Reprezentace funktoru]] {{mvar|F}} do '''Set''' je iniciálním objektem v [[Kategorie prvků|kategorii prvků]] funktoru {{mvar|F}}.
* Pojem [[Terminální funktor|terminálního funktoru]] (resp. iniciálního funktoru) je zobecněním pojmu terminálního objektu (resp. iniciálního objektu).

=== Další vlastnosti ===
* [[Monoidový endomorfismus]] iniciálního nebo terminálního objektu {{mvar|I}} je triviální: <math>End(I) = Hom(O, I) = \{id_I\}</math>.
* Má-li kategorie {{mvar|C}} nulový objekt {{math|0}}, pak pro libovolnou dvojici objektů {{mvar|X}} a {{mvar|Y}} z {{mvar|C}} je jedinečná kompozice {{math|''X'' → 0 → ''Y''}} [[Nulový morfismus|nulovým morfismem]] z {{mvar|X}} do {{mvar|Y}}.

== Odkazy ==

=== Reference ===
{{Překlad|en|Initial and terminal objects|1197703455}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Adámek
 | jméno = Jiří
 | jméno2 = Horst
 | příjmení2 = Herrlich
 | jméno3 = George E.
 | příjmení3 = Strecker
 | rok = 1990
 | url = http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf
 | titul = Abstract and Concrete Categories. The joy of cats
 | vydavatel = John Wiley & Sons
 | isbn = 0-471-60922-6
 | zbl = 0695.18001
 | datum přístupu = 2008-01-15
 | datum archivace = 2015-04-21
 | url archivu = https://web.archive.org/web/20150421081851/http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf
 | nedostupné = ano
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení editora = Pedicchio
 | jméno editora = Maria Cristina
 | příjmení editora2 = Tholen
 | jméno editora2 = Walter
 | titul = Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory
 | edice = Encyclopedia of Mathematics and Its Applications
 | ročník = 97
 | místo = Cambridge
 | vydavatel = [[Cambridge University Press]]
 | rok = 2004
 | isbn = 0-521-83414-7
 | zbl = 1034.18001
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | jméno = Saunders
 | příjmení = Mac Lane
 | odkaz na autora = Saunders Mac Lane
 | rok = 1998
 | titul = Categories for the Working Mathematician.
 | edice = [[Graduate Texts in Mathematics]]
 | ročník = 5
 | vydání = 2
 | vydavatel = [[Springer-Verlag]]
 | isbn = 0-387-98403-8
 | zbl = 0906.18001
 | ref = harv
}}
* ''Tento článek vychází z [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html článku s příklady iniciálních a terminálních objektů] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html |date=20051111090239 }} na [http://www.planetmath.org PlanetMath].''

{{Teorie kategorií}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Teorie kategorií]]