Zobrazení zdroje stránky Hermitovy polynomy

'''Hermitovy polynomy''' jsou v [[Matematika|matematice]] klasická [[posloupnost]] [[Ortogonální polynomy|ortogonálních polynomů]].

Hermitovy polynomy se objevují:
* ve [[zpracování signálu]] jako [[Hermitovská vlnka|Hermitovské vlnky]] pro analýzu [[Vlnková transformace|vlnkovou transformací]]
* v [[pravděpodobnost]]i, jako například [[Edgeworthova řada]] nebo v souvislosti s [[Brownův pohyb|Brownovým pohybem]];
* v [[Kombinatorika|kombinatorice]], jako příklad [[Appellova posloupnost|Appellovy posloupnosti]], která řídí [[stínový počet]];
* v [[Numerická matematika|numerické matematice]] jako [[Gaussovo kvadraturní pravidlo]];
* ve [[Fyzika|fyzice]], kde popisují [[Kvantový stav|kvantové stavy]] [[Kvantový harmonický oscilátor|kvantového harmonického oscilátoru]];
* v [[Teorie systémů|teorii systémů]] ve spojení s nelineárními operacemi na [[Gaussovský šum|Gaussovském šumu]].
* v [[Náhodná matice|náhodných maticích]] v [[Náhodná matice#Typy náhodných matic|Gaussovských náhodných maticích]].

Hermitovy polynomy definoval (i když v sotva rozpoznatelném formě) [[Pierre-Simon Laplace]] v roce 1810;<ref>{{Harvnb|Laplace|1810}} ([http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k775950/f369.image online]).</ref><ref>{{Citace monografie
 | jméno = P.-S.
 | příjmení = Laplace
 | titul = Théorie analytique des probabilités
 | trans-title = Analytic Probability Theory
 | datum = 1812
 | ročník = 2
 | strany = 194–203
 | ref = harv
}} vydané v [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k775950.r=Oeuvres%20complètes%20de%20Laplace.%20Tome%207?rk=21459;2 ''Œuvres complètes'' '''VII'''].</ref> detailně je zkoumal [[Pafnutij Lvovič Čebyšev]] v roce 1859.<ref>{{Citace periodika
 | jméno = P. L.
 | příjmení = Chebyshev
 | titul = Sur le développement des fonctions à une seule variable
 | trans-title = On the development of single-variable functions
 | časopis = Bull. Acad. Sci. St. Petersb.
 | ročník = 1
 | datum = 1859
 | strany = 193–200
 | ref = harv
}} vydané v ''Œuvres'' '''I''', 501–508.</ref> Čebyševova práce však byla přehlížena a polynomy byly později pojmenovány po [[Charles Hermite|Charlesu Hermitovi]], který je popsal jako nové v roce 1864.<ref>{{Citace periodika
 | jméno = C.
 | příjmení = Hermite
 | titul = Sur un nouveau développement en série de fonctions
 | trans-title = On a new development in function series
 | časopis = C. R. Acad. Sci. Paris
 | ročník = 58
 | datum = 1864
 | strany = 93–100
 | ref = harv
}} vydané v ''Œuvres'' '''II''', 293–303.</ref> Hermite tyto polynomy tedy neobjevil jako první, ale ve svém pozdějším díle z roku 1865 definoval vícerozměrné polynomy.

== Definice ==
Hermitovy polynomy je možné definovat stejně jako jiné [[klasické ortogonální polynomy]] několika způsoby. Je třeba si uvědomit, že existují dvě různé definice, přičemž obvyklejší je tato:

* '''„pravděpodobnostní Hermitovy polynomy“''' jsou dány vzorcem
:: <math>\mathit{He}_n(x) = (-1)^n e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d^n}{\mbox{d}x^n}e^{-\frac{x^2}{2}},</math>

* zatímco '''„fyzikální Hermitovy polynomy“''' jsou dány vzorcem
:: <math>H_n(x) = (-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{\mbox{d}x^n}e^{-x^2}.</math>

Tyto rovnice mají tvar [[Rodriguesův vzorec|Rodriguesova vzorce]] a zapisují se také jako
 
: <math>\mathit{He}_n(x) = \left(x - \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \right)^n \cdot 1, \quad H_n(x) = \left(2x - \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \right)^n \cdot 1.</math>

tyto dvě definice ovšem nejsou přesně identické; liší se použitím jiného měřítka:

:<math>H_n(x)=2^\frac{n}{2} \mathit{He}_n\left(\sqrt{2} \,x\right), \quad \mathit{He}_n(x)=2^{-\frac{n}{2}} H_n\left(\frac {x}{\sqrt 2} \right).</math>

Tyto posloupnosti Hermitových polynomů se liší [[Rozptyl (statistika)|rozptylem]]; viz výklad o variancích níže.

Obvykle se pravděpodobnostní a fyzikální Hermitovy polynomy rozlišují značením {{mvar|He}} a {{mvar|H}},<ref>{{Harvnb|Koornwinder|Wong|Koekoek|Swarttouw|2010}} a [[Abramowitz & Stegun]].</ref> v teorii pravděpodobnosti se však často místo {{mvar|He<sub>n</sub>}} používá {{mvar|H<sub>n</sub>}}, protože
: <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}</math>
je [[hustota pravděpodobnosti]] pro [[normální rozdělení]] se [[Střední hodnota|střední hodnotou]] 0 a [[Směrodatná odchylka|směrodatnou odchylkou]] 1.

[[Soubor:Hermite poly.svg|náhled|vpravo|390px|Prvních šest pravděpodobnostních Hermitových polynomů {{math|''He''<sub>''n''</sub>(''x'')}}]]

* Prvních jedenáct pravděpodobnostních Hermitových polynomů:
:<math>\begin{align}
\mathit{He}_0(x) &= 1, \\
\mathit{He}_1(x) &= x, \\
\mathit{He}_2(x) &= x^2 - 1, \\
\mathit{He}_3(x) &= x^3 - 3x, \\
\mathit{He}_4(x) &= x^4 - 6x^2 + 3, \\
\mathit{He}_5(x) &= x^5 - 10x^3 + 15x, \\
\mathit{He}_6(x) &= x^6 - 15x^4 + 45x^2 -  15, \\
\mathit{He}_7(x) &= x^7 - 21x^5 + 105x^3 - 105x, \\
\mathit{He}_8(x) &= x^8 - 28x^6 + 210x^4 - 420x^2 + 105, \\
\mathit{He}_9(x) &= x^9 - 36x^7 + 378x^5 - 1260x^3 + 945x, \\
\mathit{He}_{10}(x) &= x^{10} - 45x^8 + 630x^6 - 3150x^4 + 4725x^2 - 945.
\end{align}</math>

[[Soubor:Hermite poly phys.svg|náhled|vpravo|390px|Prvních šest (fyzikálních) Hermitových polynomů {{math|''H''<sub>''n''</sub>(''x'')}}]]

* Prvních jedenáct fyzikálních Hermitových polynomů:
:<math>\begin{align}
H_0(x) &= 1, \\
H_1(x) &= 2x, \\
H_2(x) &= 4x^2 - 2, \\
H_3(x) &= 8x^3 - 12x, \\
H_4(x) &= 16x^4 - 48x^2 + 12, \\
H_5(x) &= 32x^5 - 160x^3 + 120x, \\
H_6(x) &= 64x^6 - 480x^4 + 720x^2 - 120, \\
H_7(x) &= 128x^7 - 1344x^5 + 3360x^3 - 1680x, \\
H_8(x) &= 256x^8 - 3584x^6 + 13440x^4 - 13440x^2 + 1680, \\
H_9(x) &= 512x^9 - 9216x^7 + 48384x^5 - 80640x^3 + 30240x, \\
H_{10}(x) &= 1024x^{10} - 23040x^8 + 161280x^6 - 403200x^4 + 302400x^2 - 30240.
\end{align}</math>
<!--
Alternativou k výpočtu derivace {{mvar|n}}-tého řádu {{math|''e''<sup>−{{Zlomek|''x''<sup>2</sup>|2}}</sup>}} a {{math|''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup>}}, snazší, méně výpočetně-intensive metodu sekvenčného odvozování jednotlivých členů {{mvar|n}}-tého řádu Hermitových polynomů je na uvažujme kombinace koeficientů v odpovídajících členech v Hermitově polynomu {{math|(''n'' − 1)}}-tého řádu. Pro pravděpodobnostní notaci se používají následující pravidla:
# Pro počátek v posloupnosti, polynom nultého řádu ({{math|''On''<sub>0</sub>}}) se rovná 1.
# První člen má mocninu {{mvar|x}} rovnou daný {{mvar|n}}-tého řádu polynom je odvozený a koeficient tohoto členu je 1.
# Mocnina {{mvar|x}} každého následující člen je dva méně než předchozí term.
# Koeficient každého členu po první člen se spočítá z koeficientu členu se stejným číslem v {{math|(''n'' − 1)}}-tém polynomu a jeho sečtením se součinem mocnin {{mvar|x}} a odpovídajícím koeficient bezprostředně předchozí člen v {{math|(''n'' − 1)}}-tém polynomu.
# Všechny sudé členy v každém polynomu jsou záporné a všechny liché členy jsou kladné.

Tedy pro {{math|''On''<sub>6</sub>}}, {{math|''n'' {{=}} 6}} a tedy první člen je {{math|''x''<sup>6</sup>}}, s a koeficientem 1. Druhý člen má mocninu {{mvar|x}} rovné 6&nbsp;−&nbsp;2 = 4. Koeficient je získaný z koeficientu druhého členu v {{math|''On''<sub>5</sub>}} (který je 10) a sečtení na ono součin mocnin {{mvar|x}} a jeho koeficient v prvním členu {{math|''On''<sub>5</sub>}} (který jsou 5 a 1, po řadě). Tedy 10&nbsp;+&nbsp;5&nbsp;×&nbsp;1 = 15. Make toto koeficient záporný, protože toto je sudý člen. Třetí člen v {{math|''On''<sub>6</sub>}} má mocninu {{mvar|x}} rovnou 2 (což je o 2 méně než mocnina {{mvar|x}} v druhém členu) a jeho koeficient je 15&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;×&nbsp;10 = 45, kde 15 je koeficient třetího členu v {{math|''On''<sub>5</sub>}}; 3 je mocnina {{mvar|x}} v druhém členu polynomu {{math|''On''<sub>5</sub>}}; a 10 je koeficient druhého členu v {{math|''H''<sub>5</sub>}}. Tento koeficient (45) je kladný, protože je to lichý člen. Nakonec čtvrtý člen v {{math|''On''<sub>6</sub>}} je nultá mocnina v {{mvar|x}} (která je o 2 menší než mocnina {{mvar|x}} ve třetím členu) a jeho koeficient je 0&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;×&nbsp;15 = 15, kde 0 je koeficient (neexistujícího) čtvrtého členu v polynomu {{math|''On''<sub>5</sub>}}; 1 je mocnina {{mvar|x}} ve třetím členu {{math|''On''<sub>5</sub>}} a 15 je koeficient třetího členu v {{math|''H''<sub>5</sub>}}. Tento koeficient (15) bude záporný, protože je to sudý člen. Tedy {{math|''On''<sub>6</sub>(''x'') {{=}} ''x''<sup>6</sup> − 15''x''<sup>4</sup> + 45''x''<sup>2</sup> − 15}}.

Pro {{math|''On''<sub>7</sub>}} je první člen {{math|''x''<sup>7</sup>}}; druhý koeficient je 15&nbsp;+&nbsp;6&nbsp;×&nbsp;1 = 21 (záporný, tj. {{math|−21''x''<sup>5</sup>}}). Třetí koeficient je 45&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;×&nbsp;15 = 105 (kladný, tj. {{math|105''x''<sup>3</sup>}}). čtvrtý koeficient je 15&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;×&nbsp;45 = 105 (záporný, tj. −105''x''). Tedy {{math|''On''<sub>7</sub>(''x'') {{=}} ''x''<sup>7</sup> − 21''x''<sup>5</sup> + 105''x''<sup>3</sup> − 105''x''}}.

Pro fyzikální notaci se používají následující pravidla:
# Pro počátek v posloupnosti, polynom nultého řádu ({{math|''H''<sub>0</sub>}}) se rovná 1.
# První člen má mocninu {{mvar|x}} rovnou danému polynomu {{mvar|n}}-tého řádu je odvozený a koeficient tohoto členu je {{math|2<sup>''n''</sup>}}.
# mocnina {{mvar|x}} každého následující člen je dva méně než předchozí term.
# Koeficient každého členu za prvním členem se spočítá z koeficientu členu se stejným číslem v {{math|(''n'' − 1)}}-tém polynomu, jeho znásobení číslem 2 a pak sečtením se součinem mocnin {{mvar|x}} a odpovídajících koeficientů bezprostředně předcházejícího členu v {{math|(''n'' − 1)}}-tém polynomu.
# Všechny sudé členy v každém polynomu jsou záporné a všechny liché členy jsou kladné.

Tedy pro {{math|''H''<sub>6</sub>}}, první koeficient je 2<sup>6</sup> = 64 (tj. {{math|64''x''<sup>6</sup>}}). Druhý koeficient je 2&nbsp;×&nbsp;160&nbsp;+&nbsp;5&nbsp;×&nbsp;32 = 480 (záporný, tj. {{math|−480''x''<sup>4</sup>}}). Třetí koeficient je 2&nbsp;×&nbsp;120&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;×&nbsp;160 = 720 (kladný, tj. {{math|720''x''<sup>2</sup>}}). čtvrtý koeficient je 2&nbsp;×&nbsp;0&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;×&nbsp;120 = 120 (záporný, tj. −120). Tedy {{math|''H''<sub>6</sub>(x) {{=}} 64''x''<sup>6</sup> − 480''x''<sup>4</sup> + 720''x''<sup>2</sup> − 120}}.

Pro {{math|''H''<sub>7</sub>}}, první koeficient je 2<sup>7</sup> = 128 (tj. {{math|128''x''<sup>7</sup>}}). Druhý koeficient je 2&nbsp;×&nbsp;480&nbsp;+&nbsp;6&nbsp;×&nbsp;64 = 1344 (záporný, tj. {{math|−1344''x''<sup>5</sup>}}). Třetí koeficient je 2&nbsp;×&nbsp;720&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;×&nbsp;480 = 3360 (kladný, tj. {{math|3360''x''<sup>3</sup>}}). čtvrtý koeficient je 2&nbsp;×&nbsp;120&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;×&nbsp;720 = 1680 (záporný, tj. {{math|−1680''x''). Tedy {{math|''H''<sub>7</sub>(''x'') = 128''x''<sup>7</sup> − 1344''x''<sup>5</sup> + 3360''x''<sup>3</sup> − 1680''x''}}.

Recognizing, že {{math|''H''<sub>0</sub> {{=}} 1}}, tyto pravidla může být následující na sekvenčně odvozovat všechno {{mvar|n}}-tého řádu Hermitovy polynomy z {{math|''n'' {{=}} 1}} směrem k nekonečnu a může být počítačem kódovaný relativně snadno pro praktické aplikace. -->

== Vlastnosti ==
Hermitův polynom {{mvar|n}}-tého řádu je polynom stupně {{mvar|n}}. Pravděpodobnostní verze {{mvar|He<sub>n</sub>}} má vedoucí koeficient 1, zatímco fyzikální verze {{mvar|H<sub>n</sub>}} má úvodní koeficient {{math|2<sup>''n''</sup>}}.

=== Symetrie ===
Z [[Rodriguesův vzorec|Rodriguesova vzorce]] uvedeného výše je vidět, že {{math|''H<sub>n</sub>''(''x'')}} a {{math|''He<sub>n</sub>''(''x'')}} jsou [[Parita funkce|sudé nebo liché funkce]] podle {{mvar|n}}: 
: <math>H_n(-x)=(-1)^nH_n(x),\quad \mathit{He}_n(-x)=(-1)^n\mathit{He}_n(x).</math>

=== Ortogonalita ===
{{math|''H<sub>n</sub>''(''x'')}} a {{math|''He<sub>n</sub>''(''x'')}} jsou polynomy {{mvar|n}}-tého stupně pro {{math|''n'' {{=}} 0, 1, 2, 3,...}}. Tyto [[Ortogonální polynomy|polynomy jsou ortogonální]] vzhledem k ''[[Váhová funkce|váhové funkci]]'' ([[Míra (matematika)|míře]])

: <math>w(x) = e^{-\frac{x^2}{2}} \quad (\text{pro }\mathit{He})</math>

nebo

: <math>w(x) = e^{-x^2} \quad (\text{pro } H),</math>

tj. máme
: <math>\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \,\mbox{d}x = 0 \quad \text{pro každé }m \neq n.</math>

a navíc

: <math>\int_{-\infty}^\infty \mathit{He}_m(x) \mathit{He}_n(x)\, e^{-\frac{x^2}{2}} \,\mbox{d}x = \sqrt{2 \pi}\, n!\, \delta_{nm},</math>

nebo

:<math>\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, e^{-x^2} \,\mbox{d}x = \sqrt{\pi}\, 2^n n!\, \delta_{nm},</math>

kde <math>\delta_{nm}</math> je [[Kroneckerovo delta]].

Pravděpodobnostní polynomy jsou tedy ortogonální vzhledem ke standardní normální hustotě pravděpodobnosti.

=== Úplnost ===
Hermitovy polynomy (jak pravděpodobnostní tak fyzikální) tvoří [[Ortonormální báze|ortogonální bázi]] [[Hilbertův prostor|Hilbertova prostoru]] funkcí, které splňují
: <math>\int_{-\infty}^\infty \bigl|f(x)\bigr|^2\, w(x) \,\mbox{d}x < \infty,</math>
ve kterém je vnitřní součin definován integrálem
: <math>\langle f,g\rangle = \int_{-\infty}^\infty f(x) \overline{g(x)}\, w(x) \,\mbox{d}x,</math>
kde {{math|''w''(''x'')}} je [[Gaussova funkce|gaussovská]] [[váhová funkce]] definovaná v předchozí části.

Ortogonální báze pro {{math|[[Lp prostor|''L''<sup>2</sup>('''R''', ''w''(''x'') d''x'')]]}} tvoří [[Hilbertův prostor|''úplný'' ortogonální systém]]. Pro ortogonální systém je ''úplnost'' ekvivalentní se skutečností, že nulová funkce je jedinou funkcí {{math|''f'' ∈ ''L''<sup>2</sup>('''R''', ''w''(''x'') d''x'')}}, která je ortogonální se ''všemi'' funkcemi v systému.

Protože [[Lineární obal|lineárním obalem]] Hermitových polynomů je prostor všech polynomů, pro důkaz úplnosti (pro fyzikální polynomy) stačí dokázat, že pokud {{mvar|f}} splňuje
: <math>\int_{-\infty}^\infty f(x) x^n e^{- x^2} \,\mbox{d}x = 0</math>
pro každé {{math|''n'' ≥ 0}}, pak {{math|''f'' {{=}} 0}}.

Jedním ze způsobů, jak to udělat, je uvědomit si, že [[celá funkce]]
: <math>F(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{z x - x^2} \,\mbox{d}x = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \int f(x) x^n e^{- x^2} \,\mbox{d}x = 0</math>
bude mít nulovou hodnotu identicky. Skutečnost, že pak bude {{math|''F''(''it'') {{=}} 0}} pro každé reálné {{mvar|t}} znamená, že [[Fourierova transformace]] {{math|''f''(''x'')''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup>}} je 0, a tedy že {{mvar|f}} je 0 skoro všude. Varianty výše uvedeného důkazu úplnosti platí i pro jiné váhy s exponenciálním poklesem.

V Hermitově případě je možné dokázat i explicitní identitu, která implikuje úplnost (viz část na [[#Relace úplnosti|Relace úplnosti]] níže).

Ekvivalentně lze fakt, že Hermitovy polynomy jsou ortogonální bází pro {{math|''L''<sup>2</sup>('''R''', ''w''(''x'') d''x'')}}, formulovat zavedením ''Hermitových funkcí'' (viz níže) a ukázáním, že jsou ortonormální bází pro {{math|''L''<sup>2</sup>('''R''')}}.

=== Hermitova diferenciální rovnice ===
Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy jsou řešením diferenciální rovnice
: <math>\left(e^{-\frac12 x^2}u'\right)' + \lambda e^{-\frac12 x^2}u = 0,</math>
kde {{mvar|λ}} je konstanta. Zavedením okrajové podmínky, že funkce {{mvar|u}} musí být v nekonečnu polynomiálně omezená, má rovnice řešení, pouze pokud {{mvar|λ}} je nezáporné [[celé číslo]], a pak je řešení jednoznačně dáno <math>u(x) = C_1 He_\lambda(x) </math>, kde <math>C_{1}</math> je konstanta.

Přepsáním diferenciální rovnice jako [[Vlastní vektory a vlastní čísla|problém vlastních hodnot]]
: <math>L[u] = u'' - x u' = -\lambda u,</math>
Hermitovy polynomy <math>He_\lambda(x) </math> je možné chápat jako [[vlastní funkce]] diferenciálního operátoru <math>L[u]</math> . Tento problém vlastní hodnoty se nazývá '''Hermitova rovnice''', i když tento termín se také používá pro blízce příbuzné rovnice
: <math>u'' - 2xu' = -2\lambda u.</math>
jejichž řešení lze, po stanovení okrajové podmínky, že {{mvar|u}} musí být polynomiálně omezená v nekonečnu, jednoznačně vyjádřit pomocí fyzikálních Hermitových polynomů ve tvaru <math>u(x) = C_1 H_\lambda(x) </math>, kde <math>C_{1}</math> je konstanta.

Obecné řešení výše uvedené diferenciální rovnice druhého řádu je vlastně lineární kombinací obou Hermitových polynomů a konfluentní hypergeometrické funkce prvního druhu. Například pro fyzikální Hermitovu rovnici
: <math>u'' - 2xu' + 2\lambda u = 0,</math>
má obecné řešení tvar
: <math>u(x) = C_1   H_\lambda(x) + C_2  h_\lambda(x),</math>
kde <math>C_{1}</math> a <math>C_{2}</math> jsou konstanty, <math>H_\lambda(x)</math> jsou fyzikální Hermitovy polynomy (prvního druhu) a <math>h_\lambda(x)</math> jsou fyzikální Hermitovy funkce (druhého druhu). Tyto funkce lze kompaktně reprezentovat jako <math> h_\lambda(x) = {}_1F_1(-\tfrac{\lambda}{2};\tfrac{1}{2};x^2)</math> kde <math>{}_1F_1(a;b;z)</math> jsou [[konfluentní hypergeometrická funkce|konfluentní hypergeometrické funkce prvního druhu]]. Obvyklé Hermitovy polynomy lze také vyjádřit pomocí konfluentních hypergeometrických funkcí, viz níže.

S obecnějšími okrajovými podmínkami je možné zobecnit Hermitovy polynomy pro získání obecnějších [[Analytická funkce|analytických funkcí]] pro komplexní {{mvar|λ}}. Explicitní vzorec Hermitových polynomů pomocí [[Křivkový integrál|křivkových integrálů]] {{Sfn|Courant|Hilbert|1989}} je také možné.

=== Rekurentní vzorec ===
Posloupnost pravděpodobnostních Hermitových polynomů také vyhovuje [[Diferenční rovnice|diferenční rovnici]]
: <math>\mathit{He}_{n+1}(x) = x \mathit{He}_n(x) - \mathit{He}_n'(x).</math>
Vztah jednotlivých koeficientů popisuje následující rekurentní vzorec:
:<math>a_{n+1,k} = \begin{cases}
 - n a_{n-1,k} &  k = 0, \\
 a_{n,k-1} - n a_{n-1,k} & k > 0,
\end{cases}</math>
a {{math|''a''<sub>0,0</sub>{{=}} 1}}, {{math|''a''<sub>1,0</sub>{{=}} 0}}, {{math|''a''<sub>1,1</sub>{{=}} 1}}.

Pro fyzikální polynomy, předpokládá
: <math>H_n(x) = \sum^n_{k=0} a_{n,k} x^k,</math>
máme
: <math>H_{n+1}(x) = 2xH_n(x) - H_n'(x).</math>
Vztah jednotlivých koeficientů popisuje následující rekurentní vzorec:
: <math>a_{n+1,k} = \begin{cases}
 - a_{n,k+1} & k = 0, \\ 
 2 a_{n,k-1} - (k+1)a_{n,k+1} & k > 0,
\end{cases}</math>
a {{math|''a''<sub>0,0</sub>{{=}} 1}}, {{math|''a''<sub>1,0</sub>{{=}} 0}}, {{math|''a''<sub>1,1</sub>{{=}} 2}}.

Hermitovy polynomy tvoří [[Appellova posloupnost|Appellovu posloupnost]], tj. jsou posloupností polynomů, která vyhovuje rovnici
: <math>\begin{align}
 \mathit{He}_n'(x) &= n\mathit{He}_{n-1}(x), \\
 H_n'(x) &= 2nH_{n-1}(x).
\end{align}</math>
Ekvivalentně, podle [[Taylorova řada|Taylorova rozvoje]],
:<math>\begin{align}
 \mathit{He}_n(x+y) &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k} \mathit{He}_{k}(y)
  &&= 2^{-\frac n 2} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mathit{He}_{n-k}\left(x\sqrt 2\right) \mathit{He}_k\left(y\sqrt 2\right), \\
 H_n(x+y) &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}H_{k}(x) (2y)^{(n-k)}
  &&= 2^{-\frac n 2}\cdot\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} H_{n-k}\left(x\sqrt 2\right) H_k\left(y\sqrt 2\right).
\end{align}</math>
Tyto identity [[stínový počet|stínového počtu]] jsou evidentní a [[#Zobecnění|obsažené]] v [[Hermitovy polynomy#Reprezentace diferenciálním operátorem|reprezentaci diferenciálním operátorem]] rozebrané níže
:<math>\begin{align}
 \mathit{He}_n(x) &= e^{-\frac{D^2}{2}} x^n, \\
 H_n(x) &= 2^n e^{-\frac{D^2}{4}} x^n.
\end{align}</math>

V důsledku pro {{mvar|m}}-tou derivaci platí:
:<math>\begin{align}
 \mathit{He}_n^{(m)}(x) &= \frac{n!}{(n-m)!} \mathit{He}_{n-m}(x)
  &&= m! \binom{n}{m} \mathit{He}_{n-m}(x), \\
 H_n^{(m)}(x) &= 2^m \frac{n!}{(n-m)!} H_{n-m}(x)
  &&= 2^m m! \binom{n}{m} H_{n-m}(x).
\end{align}</math>

Odtud plyne, že Hermitovy polynomy také vyhovují [[Diferenční rovnice|diferenční rovnici]]
:<math>\begin{align}
 \mathit{He}_{n+1}(x) &= x\mathit{He}_n(x) - n\mathit{He}_{n-1}(x), \\
 H_{n+1}(x) &= 2xH_n(x) - 2nH_{n-1}(x).
\end{align}</math>

Tyto poslední vzorce se spolu s počátečními polynomy {{math|''H''<sub>0</sub>(''x'')}} a {{math|''H''<sub>1</sub>(''x'')}} používají v praxi pro rychlé vyčíslení hodnoty polynomů.

Platí [[Turánovy nerovnosti]]:
: <math>\mathit{H}_n(x)^2 - \mathit{H}_{n-1}(x) \mathit{H}_{n+1}(x) = (n-1)! \sum_{i=0}^{n-1} \frac{2^{n-i}}{i!}\mathit{H}_i(x)^2 > 0.</math>

a následující [[multiplikační věta]]:
: <math>\begin{align}
 H_n(\gamma x) &= \sum_{i=0}^{\left\lfloor \tfrac{n}{2} \right\rfloor} \gamma^{n-2i}(\gamma^2 - 1)^i \binom{n}{2i} \frac{(2i)!}{i!} H_{n-2i}(x), \\
 \mathit{He}_n(\gamma x) &= \sum_{i=0}^{\left\lfloor \tfrac{n}{2} \right\rfloor} \gamma^{n-2i}(\gamma^2 - 1)^i \binom{n}{2i} \frac{(2i)!}{i!}2^{-i} \mathit{He}_{n-2i}(x).
\end{align}</math>

=== Explicitní vyjádření ===
Fyzikální Hermitovy polynomy je možné psát explicitně jako
: <math>H_n(x) = \begin{cases}
\displaystyle n! \sum_{l = 0}^{\frac{n}{2}} \frac{(-1)^{\tfrac{n}{2} - l}}{(2l)! \left(\tfrac{n}{2} - l \right)!} (2x)^{2l} & \text{pro sudé } n, \\
\displaystyle n! \sum_{l = 0}^{\frac{n-1}{2}} \frac{(-1)^{\frac{n-1}{2} - l}}{(2l + 1)! \left (\frac{n-1}{2} - l \right )!} (2x)^{2l + 1}  & \text{pro liché } n.
\end{cases}</math>

Tyto dvě rovnice je možné zkombinovat do jedné pomocí funkce [[celá část]]:
: <math>H_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\left\lfloor \tfrac{n}{2} \right\rfloor} \frac{(-1)^m}{m!(n - 2m)!} (2x)^{n - 2m}.</math>

Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy {{mvar|He}} mají podobné vzorce, které je možné získat z těchto nahrazením mocniny {{math|2''x''}} odpovídající mocninou {{math|{{Odmocnina|2}} ''x''}} a znásobením celého součtu výrazem {{math|2<sup>−{{Zlomek|''n''|2}}</sup>}}:
: <math>He_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\left\lfloor \tfrac{n}{2} \right\rfloor} \frac{(-1)^m}{m!(n - 2m)!} \frac{x^{n - 2m}}{2^m}.</math>

=== Inverzní explicitní výraz ===
Inverzí výše uvedených explicitních výrazů, tj. výrazů pro jednočleny v členech pravděpodobnostních Hermitových polynomů {{mvar|He}} jsou
: <math>x^n = n! \sum_{m=0}^{\left\lfloor \tfrac{n}{2} \right\rfloor} \frac{1}{2^m  m!(n-2m)!} He_{n-2m}(x).</math>

Odpovídající výrazy pro fyzikální Hermitovy polynomy {{mvar|H}} zjistíme přímo správnou změnou měřítka takto:<ref>{{Citace elektronické monografie
 | titul = 18. Orthogonal Polynomials, Classical Orthogonal Polynomials, Sums
 | url = http://dlmf.nist.gov/18.18.E20
 | web = Digital Library of Mathematical Functions
 | vydavatel = National Institute of Standards and Technology
 | datum přístupu = 30 January 2015
 | ref = DLMF
}}</ref>
: <math>x^n = \frac{n!}{2^n} \sum_{m=0}^{\left\lfloor \tfrac{n}{2} \right\rfloor} \frac{1}{m!(n-2m)! } H_{n-2m}(x).</math>

=== Vytvořující funkce ===
Hermitovy polynomy lze zadat [[Vytvořující funkce (posloupnost)|vytvořující funkcí]]

:<math>\begin{align}
 e^{xt - \frac12 t^2} &= \sum_{n=0}^\infty \mathit{He}_n(x) \frac{t^n}{n!}, \\
 e^{2xt - t^2} &= \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac{t^n}{n!}.
\end{align}</math>

Tato rovnost je platná pro všechny [[Komplexní číslo|komplexní]] hodnoty {{mvar|x}} a {{mvar|t}} a je možné ji získat zapsáním Taylorova rozvoje v {{mvar|x}} celé funkce {{math|''z'' → ''e''<sup>−''z''<sup>2</sup></sup>}} (ve fyzikálním případě). Můžeme také odvodit (fyzikální) vytvořující funkce pomocí [[Cauchyův vzorec]] zapsat Hermitovy polynomy jako
: <math>H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{\mbox{d}^n}{\mbox{d}x^n} e^{-x^2} = (-1)^n e^{x^2} \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{e^{-z^2}}{(z-x)^{n+1}} \,dz.</math>

Dosazením do součtu
:<math>\sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac {t^n}{n!},</math>
je možné vyhodnotit zbývající integrál pomocí reziduového počtu a tak získat požadovanou vytvořující funkci.

=== Střední hodnoty ===
Pokud {{mvar|X}} je [[náhodná veličina]] s [[Normální rozdělení|normálním rozdělením]] se standardní odchylkou 1 a střední hodnotou {{mvar|μ}}, pak
: <math>\operatorname{\mathbb E}\left[\mathit{He}_n(X)\right] = \mu^n.</math>

Momenty standardního normálního rozdělení (se střední hodnotou nula) je možné číst přímo z relace pro sudé indexy:
: <math>\operatorname{\mathbb E}\left[X^{2n}\right] = (-1)^n \mathit{He}_{2n}(0) = (2n-1)!!,</math>

kde {{math|(2''n'' − 1)!!}} je [[Faktoriál#Dvojitý faktoriál, multifaktoriál|dvojitý faktoriál]]. Pamatujte, že výše uvedený výraz je speciálním případem reprezentace pravděpodobnostních Hermitových polynomů jako momentů:

: <math>\mathit{He}_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty (x + iy)^n e^{-\frac{y^2}{2}} \,dy.</math>

=== Asymptotický rozvoj ===
Asymptoticky pro {{math|''n'' → ∞}}, lze použít rozvoj<ref>{{Harvnb|Abramowitz|Stegun|1983|strany=508–510}}, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_508.htm 13.6.38 a 13.5.16].</ref>
: <math>e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x) \sim \frac{2^n}{\sqrt \pi}\Gamma\left(\frac{n+1}2\right) \cos \left(x \sqrt{2 n}- \frac{n\pi}{2} \right)</math>
Pro určité případy zabývající se širším rozsahem vyhodnocování je nutné zahrnout faktor pro změnu amplitudy:
: <math>e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x) \sim \frac{2^n}{\sqrt \pi}\Gamma\left(\frac{n+1}2\right) \cos \left(x \sqrt{2 n}- \frac{n\pi}{2} \right)\left(1-\frac{x^2}{2n+1}\right)^{-\frac14}=\frac{2 \Gamma(n)}{\Gamma\left(\frac{n}2\right)} \cos \left(x \sqrt{2 n}- \frac{n\pi}{2} \right)\left(1-\frac{x^2}{2n+1}\right)^{-\frac14},</math>
což lze, pomocí [[Stirlingův vzorec|Stirlingova vzorce]] dále zjednodušit; v limitě na
: <math>e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x) \sim \left(\frac{2n}{e}\right)^{\frac{n}{2}} \sqrt{2} \cos \left(x \sqrt{2n}- \frac{n\pi}{2} \right)\left(1-\frac{x^2}{2n+1}\right)^{-\frac14}.</math>

Toto rozvoj je potřebný pro řešení [[Vlnová funkce|vlnové funkce]] [[Kvantový harmonický oscilátor|kvantového harmonického oscilátoru]] tak, že souhlasí s klasickou aproximací v limitě [[Princip korespondence|principu korespondence]].

Lepší aproximaci, která odpovídá za variaci ve frekvenci, popisuje vztah
: <math>e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x) \sim \left(\frac{2n}{e}\right)^{\frac{n}{2}} \sqrt{2} \cos \left(x \sqrt{2n+1-\frac{x^2}{3}}- \frac {n\pi}{2} \right)\left(1-\frac{x^2}{2n+1}\right)^{-\frac14}.</math>

Jemnější aproximace,{{Sfn|Szegő|1955|s=201}} která bere v úvahu nestejný odstup kořenů blízko hrany, používá substituci
: <math>x = \sqrt{2n + 1}\cos(\varphi), \quad 0 < \varepsilon \leq \varphi \leq \pi - \varepsilon,</math>
se kterou máme rovnoměrnou aproximaci
: <math>e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x) = 2^{\frac{n}{2}+\frac14}\sqrt{n!}(\pi n)^{-\frac14}(\sin \varphi)^{-\frac12} \cdot \left(\sin\left(\frac{3\pi}{4}+\left(\frac{n}{2}+\frac{1}{4}\right)\left(\sin 2\varphi-2\varphi\right) \right)+O\left(n^{-1}\right) \right).</math>

Podobná aproximace platí pro monotonní a přechod oblasti. Konkrétně pokud
: <math>x = \sqrt{2n+1} \cosh(\varphi), \quad 0 < \varepsilon \leq \varphi \leq \omega < \infty,</math>
pak
: <math>e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x) = 2^{\frac{n}{2}-\frac34}\sqrt{n!}(\pi n)^{-\frac14}(\sinh \varphi)^{-\frac12} \cdot e^{\left(\frac{n}{2}+\frac{1}{4}\right)\left(2\varphi-\sinh 2\varphi\right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right) \right),</math>
zatímco pro
: <math>x = \sqrt{2n + 1} + t</math>
s {{mvar|t}} komplerxním a omezeným je aproximace
: <math>e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot H_n(x) =\pi^{\frac14}2^{\frac{n}{2}+\frac14}\sqrt{n!}\, n^{-\frac{1}{12}}\left( \operatorname{Ai}\left(2^{\frac12}n^{\frac16}t\right)+ O\left(n^{-\frac23}\right) \right),</math>
kde {{math|Ai}} je [[Airyho funkce]] prvního druhu.

=== Speciální hodnoty ===
Fyzikální Hermitovy polynomy vyčíslené v bodě nula {{math|''H<sub>n</sub>''(0)}} se nazývají [[Hermitovo číslo|Hermitova čísla]].

:<math>H_n(0) = \begin{cases} 
 0 & \text{pro lichá }n, \\
 (-2)^\frac{n}{2} (n-1)!! & \text{pro sudé }n,
\end{cases}</math>
což vyhovuje rekurentnímu vzorci {{math|''H<sub>n</sub>''(0) {{=}} −2(''n'' − 1)''H''<sub>''n'' − 2</sub>(0)}}.

V členech pravděpodobnostních polynomů se převádí na
:<math>He_n(0) = \begin{cases} 
 0 & \text{pro liché }n, \\
 (-1)^\frac{n}{2} (n-1)!! & \text{pro sudé }n.
\end{cases}</math>

== Vztahy k jiným funkcím ==

=== Laguerrovy polynomy ===
Hermitovy polynomy lze vyjádřit jako speciální případ [[Laguerrovy polynomy|Laguerrových polynomů]]:
: <math>\begin{align}
 H_{2n}(x) &= (-4)^n n! L_n^{\left(-\frac12\right)}(x^2)
  &&= 4^n n! \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n-\frac12}{n-k} \frac{x^{2k}}{k!}, \\
 H_{2n+1}(x) &= 2(-4)^n n! x L_n^{\left(\frac12\right)}(x^2)
  &&= 2\cdot 4^n n!\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n+\frac12}{n-k} \frac{x^{2k+1}}{k!}.
\end{align}</math>

=== Vztah k konfluentním hypergeometrickým funkcím ===
Fyzikální Hermitovy polynomy je možné vyjádřit jako speciální případ [[Parabolická válcová funkce|parabolických válcových funkcí]]:
: <math>H_n(x) = 2^n U\left(-\tfrac12 n, \tfrac12, x^2\right)</math>
v [[Pravá polorovina|pravé polorovině]], kde {{math|''U''(''a'', ''b'', ''z'')}} je [[konfluentní hypergeometrické funkce|Tricomiho konfluentní hypergeometrické funkce]]. Podobně
: <math>\begin{align}
 H_{2n}(x) &= (-1)^n \frac{(2n)!}{n!} \,_1F_1\big(-n, \tfrac12; x^2\big), \\
 H_{2n+1}(x) &= (-1)^n \frac{(2n+1)!}{n!}\,2x \,_1F_1\big(-n, \tfrac32; x^2\big),
\end{align}</math>
kde {{math|<sub>1</sub>''F''<sub>1</sub>(''a'', ''b''; ''z'') {{=}} ''M''(''a'', ''b''; ''z'')}} je [[konfluentní hypergeometrické funkce|Kummerova konfluentní hypergeometrické funkce]].

== Reprezentace diferenciálním operátorem ==
Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy vyhovují vztahu
: <math>\mathit{He}_n(x) = e^{-\frac{D^2}{2}}x^n,</math>
kde {{mvar|D}} reprezentuje derivaci podle {{mvar|x}} a [[exponenciální funkce]] je interpretována svým rozvojem na [[Mocninná řada|mocninnou řadu]]. O konvergenci této řady aplikované na polynomy není pochyb, protože všechny členy až na konečný počet zanikají.

Protože koeficienty mocninné řady exponenciální funkce jsou známé a derivace vyššího řádu jednočlenu {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} je možné zapsat explicitně, tato reprezentace diferenciálním operátorem dává konkrétní vzorec pro koeficienty {{math|''H<sub>n</sub>''}}, který lze použít pro rychlý výpočet těchto polynomů.

Protože formální výraz pro [[Weierstrassova transformace|Weierstrassovu transformaci]] {{mvar|W}} je {{math|''e''<sup>''D''<sup>2</sup></sup>}}, vidíme, že Weierstrassova transformace {{math|({{Odmocnina|2}})<sup>''n''</sup>''He<sub>n</sub>''({{Zlomek|''x''|{{Odmocnina|2}}}})}} je {{math|''x<sup>n</sup>''}}. Weierstrassova transformace tedy v zásadě převádí řadu Hermitových polynomů na odpovídající [[Taylorova řada|Taylorovu řadu]].

Existence nějaké formální mocninné řady {{math|''g''(''D'')}} s nenulovým konstantním koeficientem, takové, že {{math|''He<sub>n</sub>''(''x'') {{=}} ''g''(''D'')''x<sup>n</sup>''}}, je dalším ekvivalentem tvrzení, že tyto polynomy tvoří [[Appellova posloupnost|Appellovu posloupnost]]. Protože jsou Appellovou posloupností, jsou také [[Shefferova posloupnost|Shefferovou posloupností]].

{{Podrobně|Weierstrassova transformace#Inverze}}

== Reprezentace křivkovým integrálem ==
Z reprezentace generující funkce uvedené výše, vidíme, že Hermitovy polynomy lze reprezentovat pomocí [[křivkový integrál]], protože
:<math>\begin{align}
 \mathit{He}_n(x) &= \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{e^{tx-\frac{t^2}{2}}}{t^{n+1}}\,dt, \\
 H_n(x) &= \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{e^{2tx-t^2}}{t^{n+1}}\,dt,
\end{align}</math>
s křivkou obkružující počátek souřadnicového systému.

== Zobecnění ==
Pravděpodobnostní Hermitovy polynomy definované výše jsou ortogonální vůči standardnímu normálnímu [[rozdělení pravděpodobnosti]], jehož hustota je
: <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}},</math>
a které má střední hodnotu 0 a rozptyl 1.
 
Při změně měřítka je možné obdobně mluvit o '''zobecněných Hermitových polynomech'''<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Roman
 | jméno = Steven
 | datum = 1984
 | titul = The Umbral Calculus
 | url = https://archive.org/details/umbralcalculus0000roma
 | edice = Pure and Applied Mathematics
 | ročník = 111
 | vydavatel = Academic Press
 | vydání = 1
 | isbn = 978-0-12-594380-2
 | strany = [https://archive.org/details/umbralcalculus0000roma/page/87 87]–93
 | ref = harv
}}</ref>
: <math>\mathit{He}_n^{[\alpha]}(x)</math>
s rozptylem {{mvar|α}}, kde {{mvar|α}} je jakékoli kladné číslo. Tyto jsou pak ortogonální vzhledem k normální rozdělení pravděpodobnosti, jejíž hustota je
: <math>(2\pi\alpha)^{-\frac12} e^{-\frac{x^2}{2\alpha}}.</math>
Jsou daný
: <math>\mathit{He}_n^{[\alpha]}(x) = \alpha^{\frac{n}{2}}\mathit{He}_n\left(\frac{x}{\sqrt{\alpha}}\right) = \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{\frac{n}{2}} H_n\left( \frac{x}{\sqrt{2 \alpha}}\right) = e^{-\frac{\alpha D^2}{2}} \left(x^n\right).</math>

Nyní, pokud
: <math>\mathit{He}_n^{[\alpha]}(x) = \sum_{k=0}^n h^{[\alpha]}_{n,k} x^k,</math>
pak posloupnost polynomů, jejíž {{mvar|n}}-tý člen je
: <math>\left(\mathit{He}_n^{[\alpha]} \circ \mathit{He}^{[\beta]}\right)(x) \equiv \sum_{k=0}^n h^{[\alpha]}_{n,k}\,\mathit{He}_k^{[\beta]}(x)</math>
se nazývá [[Binomický typ#Stínová kompozice posloupností polynomů|stínová kompozice]] dvou posloupností polynomů. Lze dokázat, že vyhovuje identitám
: <math>\left(\mathit{He}_n^{[\alpha]} \circ \mathit{He}^{[\beta]}\right)(x) = \mathit{He}_n^{[\alpha+\beta]}(x)</math>
a
: <math>\mathit{He}_n^{[\alpha+\beta]}(x + y) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mathit{He}_k^{[\alpha]}(x) \mathit{He}_{n-k}^{[\beta]}(y).</math>
Poslední vztah lze vyjádřit tím, že řekneme, že tato [[parametrizovaná rodina]] posloupností polynomů je známá jako křížová posloupnost. (Viz výše uvedená část o Appellových posloupnostech a o [[#Reprezentace diferenciálním operátorem|reprezentaci diferenciálním operátorem]], která vede k její připravené derivaci. Tento vztah identity [[Binomický typ|binomického typu]] pro {{math|''α'' {{=}} ''β'' {{=}}{{Zlomek|1|2}}}} jsme již zaznamenali ve výše uvedené části o [[#Rekurentní vzorec|rekurentních vzorcích]].)

=== „Záporný rozptyl“ ===
Protože posloupnosti polynomů tvoří [[Grupa|grupu]] s operací [[Binomický typ#Stínová kompozice polynomických posloupností|stínové kompozice]], je možné pomocí
: <math>\mathit{He}_n^{[-\alpha]}(x)</math>
zapsat posloupnost, která je inverzní k podobně označené posloupnosti, ale bez znaménka minus, proto mluvíme o Hermitových polynomech se záporným rozptylem. Pro {{math|α > 0}} jsou koeficienty <math>\mathit{He}_n^{[-\alpha]}(x)</math> pouze absolutními hodnotami odpovídajících koeficientů <math>\mathit{He}_n^{[\alpha]}(x)</math>.

Tyto koeficienty se objevují jako momenty normálního rozdělení pravděpodobnosti: {{mvar|n}}-tý moment normálního rozdělení se střední hodnotou {{mvar|μ}} a rozptylem {{math|''σ''<sup>2</sup>}} je
: <math>E[X^n] = \mathit{He}_n^{[-\sigma^2]}(\mu),</math>
kde {{mvar|X}} je náhodná proměnná s uvedeným normálním rozdělením. Speciální případ křížové posloupnosti identit pak říká, že
: <math>\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \mathit{He}_k^{[\alpha]}(x) \mathit{He}_{n-k}^{[-\alpha]}(y) = \mathit{He}_n^{[0]}(x + y) = (x + y)^n.</math>

== Aplikace ==

=== Hermitovy funkce ===
Z fyzikálních polynomů je možnédefinovat '''Hermitovy funkce''' (často nazývané Hermitovy-gaussovy funkce):
: <math>\psi_n(x) = \left (2^n n! \sqrt{\pi} \right )^{-\frac12} e^{-\frac{x^2}{2}} H_n(x) = (-1)^n \left (2^n n! \sqrt{\pi} \right)^{-\frac12} e^{\frac{x^2}{2}} \frac{d^n}{\mbox{d}x^n} e^{-x^2}.</math>
tedy
: <math>\sqrt{2(n+1)}~~\psi_{n+1}(x)=    \left ( x- {d\over \mbox{d}x}\right ) \psi_n(x).</math>

Protože tyto funkce obsahují druhou odmocninu [[Váhová funkce|váhové funkce]] a jejich měřítko bylo vhodným způsobem upravené, jsou [[Ortonormalita|ortonormální]]:
: <math>\int_{-\infty}^\infty \psi_n(x) \psi_m(x) \,\mbox{d}x = \delta_{nm},</math>
a tvoří ortonormální bázi prostoru {{math|''L''<sup>2</sup>('''R''')}}. Tato skutečnost je ekvivalentní se stejným tvrzením pro Hermitovy polynomy (viz výše).

Hermitovy funkce úzce souvisí s [[Whittakerova funkce|Whittakerovou funkcí]] {{Sfn|Whittaker|Watson|1996}} {{math|''D''<sub>''n''</sub>(''z'')}}:
: <math>D_n(z) = \left(n! \sqrt{\pi}\right)^{\frac12} \psi_n\left(\frac{z}{\sqrt 2}\right) = (-1)^n e^\frac{z^2}{4} \frac{d^n}{dz^n} e^\frac{-z^2}{2}</math>
a díky tomu i s dalšími [[Parabolická válcová funkce|parabolickými válcovými funkcemi]].

Hermitovy funkce vyhovují diferenciální rovnici
: <math>\psi_n''(x) + \left(2n + 1 - x^2\right) \psi_n(x) = 0.</math>
Tato rovnice je ekvivalentní se [[Schrödingerova rovnice|Schrödingerovou rovnicí]] pro harmonický oscilátor v kvantové mechanice, a tyto funkce jsou tedy [[vlastní funkce]].

[[Soubor:Herm5.svg|náhled|vpravo|450px|Hermitovy funkce: 0 (plná modrá), 1 (čárkovaná oranžová), 2 (čerchovaná zelená), 3 (tečkovaná červená), 4 (plná fialová), a 5 (čárkovaná hnědá)]]
:<math>\begin{align}
 \psi_0(x) &= \pi^{-\frac14} \, e^{-\frac12 x^2}, \\
 \psi_1(x) &= \sqrt{2} \, \pi^{-\frac14} \, x \, e^{-\frac12 x^2}, \\
 \psi_2(x) &= \left(\sqrt{2} \, \pi^{\frac14}\right)^{-1} \, \left(2x^2-1\right) \, e^{-\frac12 x^2}, \\
 \psi_3(x) &= \left(\sqrt{3} \, \pi^{\frac14}\right)^{-1} \, \left(2x^3-3x\right) \, e^{-\frac12 x^2}, \\
 \psi_4(x) &= \left(2 \sqrt{6} \, \pi^{\frac14}\right)^{-1} \, \left(4x^4-12x^2+3\right) \, e^{-\frac12 x^2}, \\
 \psi_5(x) &= \left(2 \sqrt{15} \, \pi^{\frac14}\right)^{-1} \, \left(4x^5-20x^3+15x\right) \, e^{-\frac12 x^2}.
\end{align}</math>
[[Soubor:Herm50.svg|náhled|vpravo|680px|Hermitovy funkce: 0 (plná modrá), 2 (čárkovaná oranžová), 4 (čerchovaná zelená) 50 (plná červená)]]

=== Rekurentní vzorec ===
Podle rekurentního vzorce pro Hermitovy polynomy platí pro Hermitovy funkce
: <math>\psi_n'(x) = \sqrt{\frac{n}{2}}\,\psi_{n-1}(x) - \sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(x)</math>
a
: <math>x\psi_n(x) = \sqrt{\frac{n}{2}}\,\psi_{n-1}(x) + \sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(x).</math>

Rozvoj prvního vzorce pro libovolnou {{mvar|m}}-tou derivaci pro jakékoli kladné celé číslo {{mvar|m}} vede k
: <math>\psi_n^{(m)}(x) = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} (-1)^k 2^\frac{m-k}{2} \sqrt{\frac{n!}{(n-m+k)!}} \psi_{n-m+k}(x) \mathit{He}_k(x).</math>

Tento vzorec může být používán ve spojení s rekurentními vzorci pro {{math|''He<sub>n</sub>''}} a {{math|''ψ''<sub>''n''</sub>}} pro efektivní výpočet jakékoli derivace Hermitovy funkce.

=== Cramérova nerovnost ===
Pro reálné {{mvar|x}} vyhovují Hermitovy funkce následujícímu omezení, které dokázal [[Harald Cramér]]<ref>{{Harvnb|Erdélyi|Magnus|Oberhettinger|Tricomi|1955|s=207}}.</ref><ref>{{Harvnb|Szegő|1955}}.</ref> a Jack Indritz:<ref name="indritz">{{Citace periodika
 | příjmení = Indritz
 | jméno = Jack
 | doi = 10.1090/S0002-9939-1961-0132852-2
 | číslo = 6
 | časopis = Proceedings of the American Mathematical Society
 |  mr  = 0132852
 | strany = 981–983
 | titul = An inequality for Hermite polynomials
 | ročník = 12
 | rok = 1961
 |  doi-access  = free
 | ref = harv
}}</ref>
:<math> \bigl|\psi_n(x)\bigr| \le \pi^{-\frac14}.</math>

=== Hermitovy funkce jako vlastní funkce Fourierovy transformace ===
Hermitovy funkce {{math|''ψ''<sub>''n''</sub>(''x'')}} jsou sadou vlastních funkcí [[Fourierova transformace|Fourierovy transformace]] <math>\mathcal{F}</math>. Pro ověření použijeme fyzikální verzi vytvořující funkce a znásobíme ji {{math|''e''<sup>−{{Zlomek|1|2}}''x''<sup>2</sup></sup>}}. Tím dostaneme
: <math>e^{-\frac12 x^2 + 2xt - t^2} = \sum_{n=0}^\infty e^{-\frac12 x^2} H_n(x) \frac{t^n}{n!}.</math>

Fourierovu transformaci levé strany popisuje vzorec
: <math>\begin{align}
 \mathcal{F} \left\{ e^{ -\frac12 x^2 + 2xt - t^2 } \right\}(k)
  &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-ixk}e^{-\frac12 x^2 + 2xt - t^2}\, \mbox{d}x \\
  &= e^{-\frac12 k^2 - 2kit + t^2 } \\
  &= \sum_{n=0}^\infty e^{ -\frac12 k^2 } H_n(k) \frac{(-it)^n}{n!}.
\end{align}</math>

Fourierovu transformaci pravé strany pak vzorec
: <math>\mathcal{F} \left\{ \sum_{n=0}^\infty e^{-\frac12 x^2} H_n(x) \frac {t^n}{n!} \right\} = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{F} \left \{ e^{-\frac12 x^2} H_n(x) \right\} \frac{t^n}{n!}.</math>

Srovnáním stejných mocnin {{mvar|t}} v transformované verzi levé a pravé strany dostáváme
: <math>\mathcal{F} \left\{ e^{-\frac12 x^2} H_n(x) \right\} = (-i)^n e^{-\frac12 k^2} H_n(k).</math>

Hermitovy funkce {{math|''ψ<sub>n</sub>''(''x'')}} jsou tedy ortonormální bází prostoru {{math|''L''<sup>2</sup>('''R''')}}, která ''diagonalizuje Fourierův transformační operátor''.<ref>V tomto případě byla použita unitární verze Fourierovy transformace, takže [[Vlastní vektory a vlastní čísla|vlastní čísla]] jsou {{math|(−''i'')<sup>''n''</sup>}}. Další pak slouží k definici mocnin (včetně racionálních) Fourierovy transformace pro nápadité získání zobecnění [[Zlomková Fourierova transformace|zlomkové Fourierovy transformace]], resp. [[Mehlerovo jádro|Mehlerova jádra]].</ref>

=== Wignerova distribuce Hermitovy funkce ===
[[Wignerova distribuční funkce]] {{mvar|n}}-tého řádu Hermitovy funkce souvisí s [[Laguerrovy polynomy|Laguerrovými polynomy]] {{mvar|n}}-tého řádu. Laguerrovy polynomy jsou
: <math>L_n(x) := \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{k!}x^k,</math>
které vedou k oscilátorovým Laguerrovým funkcím
:<math>l_n (x) := e^{-\frac{x}{2}} L_n(x).</math>
Pro všechna přirozená čísla {{mvar|n}} je zřejmé,<ref>{{Citace monografie
 | odkaz na autora = Gerald Folland
 | jméno = G. B.
 | příjmení = Folland
 | titul = Harmonic Analysis in Phase Space
 | edice = Annals of Mathematics Studies
 | ročník = 122
 | vydavatel = Princeton University Press
 | datum = 1989
 | isbn = 978-0-691-08528-9
 | ref = harv
}}</ref> že
:<math>W_{\psi_n}(t,f) = (-1)^n l_n \big(4\pi (t^2 + f^2) \big),</math>
kde Wignerova funkce rozdělení {{math|''x'' ∈ ''L''<sup>2</sup>('''R''', '''C''')}} je definována jako
:<math> W_x(t,f) = \int_{-\infty}^\infty x\left(t + \frac{\tau}{2}\right) \, x\left(t - \frac{\tau}{2}\right)^* \, e^{-2\pi i\tau f} \,d\tau.</math>
To je základní výsledek pro [[kvantový harmonický oscilátor]], který v roce 1946 objevil [[Hilbrand J. Groenewold]] a publikoval ve své disertační práci.<ref name="Groenewold1946">{{Citace periodika
 | příjmení = Groenewold
 | jméno = H. J.
 | rok = 1946
 | titul = On the Principles of elementary quantum mechanics
 | časopis = Physica
 | ročník = 12
 | číslo = 7
 | strany = 405–460
 | doi = 10.1016/S0031-8914(46)80059-4
 | bibcode = 1946Phy....12..405G
 | ref = harv
}}</ref> Jedná se o standardní paradigma [[Formulace fázového prostoru#Jednoduchý harmonický oscilátor|kvantové mechaniky ve fázovém prostoru]].

Mezi těmito dvěma rodinami polynomů existují [[Laguerrovy polynomy|další vztahy]].

=== Kombinatorická interpretace koeficientů ===
V Hermitově polynomu {{math|''He''<sub>''n''</sub>(''x'')}} s rozptylem 1 je [[absolutní hodnota]] koeficientu {{math|''x''<sup>''k''</sup>}} rovna počtu (neuspořádaných) dělení {{mvar|n}}-prvkové množiny na {{mvar|k}} singletonů a {{math|(''n'' − ''k'')/2}} (neuspořádaných) dvojic. Ekvivalentně je to počet [[Involuce (matematika)|involucí]] {{mvar|n}}-prvkové množiny s právě {{mvar|k}} pevnými body, což je počet [[Párování grafu|párování]] v [[Úplný graf|úplném grafu]] s {{mvar|n}} vrcholy, které ponechávají {{mvar|k}} vrcholů nepokrytých (skutečně, Hermitovy polynomy jsou [[Polynom párování|polynomy párování]] těchto grafů). Součet absolutních hodnot koeficientů dává celkový počet dělení na singletony a dvojice, tak zvaná [[Telefonní číslo (matematika)|telefonní čísla]]
: 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496,... {{OEIS|A000085}}.

Tato kombinatorická interpretace je příbuzná s kompletními exponenciálními [[Bellovy polynomy|Bellovými polynomy]] jako
: <math>\mathit{He}_n(x) = B_n(x, -1, 0, \ldots, 0),</math>
kde {{math|''x''<sub>''i''</sub>{{=}} 0}} pro všechna {{math|''i'' > 2}}.

Tato čísla je možné také vyjádřit jako speciální hodnotu Hermitových polynomů:<ref name="gfgt">{{Citace periodika
 | příjmení = Banderier
 | jméno = Cyril
 | příjmení2 = Bousquet-Mélou
 | jméno2 = Mireille
 | odkaz na autora2 = Mireille Bousquet-Mélou
 | příjmení3 = Denise
 | jméno3 = Alain
 | příjmení4 = Flajolet
 | jméno4 = Philippe
 | odkaz na autora4 = Philippe Flajolet
 | příjmení5 = Gardy
 | jméno5 = Danièle
 | příjmení6 = Gouyou-Beauchamps
 | jméno6 = Dominique
 | arxiv = math/0411250
 | doi = 10.1016/S0012-365X(01)00250-3
 | číslo = 1–3
 | časopis = [[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]]
 |  mr  = 1884885
 | strany = 29–55
 | titul = Generating functions for generating trees
 | ročník = 246
 | rok = 2002
 | ref = harv
}}</ref>
: <math>T(n) = \frac{\mathit{He}_n(i)}{i^n}.</math>

=== Relace úplnosti ===
[[Christoffelův–Darbouxův vzorec]] pro Hermitovy polynomy má tvar
:<math>\sum_{k=0}^n \frac{H_k(x) H_k(y)}{k!2^k} = \frac{1}{n!2^{n+1}}\,\frac{H_n(y) H_{n+1}(x) - H_n(x) H_{n+1}(y)}{x - y}.</math>

Navíc pro výše uvedené Hermitovy funkce platí následující [[Borelův funkcionální počet#Resolution identity|identita úplnosti]] ve smyslu [[Distribuce (matematika)|distribucí]]:
: <math>\sum_{n=0}^\infty \psi_n(x) \psi_n(y) = \delta(x - y),</math>
kde {{mvar|δ}} je [[Diracovo delta]], {{math|''ψ''<sub>''n''</sub>}} jsou Hermitovy funkce a {{math|''δ''(''x'' − ''y'')}} reprezentuje [[Lebesgueova míra|Lebesgueovu míru]] na přímce {{math|''y'' {{=}} ''x''}} v {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} normalizovanou tak, že její projekce na horizontální osu je obvyklá Lebesgueova míra.

Použitím limity {{math|''u'' → 1}} v [[Mehlerův vzorec|Mehlerově vzorci]], který platí pro {{math|−1 < ''u'' < 1}}, z této distribuční identity podle {{Sfn|Wiener|1958}} plyne
: <math>E(x, y; u) := \sum_{n=0}^\infty u^n \, \psi_n (x) \, \psi_n (y) = \frac{1}{\sqrt{\pi (1 - u^2)}} \, \exp\left(-\frac{1 - u}{1 + u} \, \frac{(x + y)^2}{4} - \frac{1 + u}{1 - u} \, \frac{(x - y)^2}{4}\right),</math>
což bývá často uváděno ekvivalentně jako separabilní jádro,<ref>{{Citace periodika
 | příjmení = Mehler
 | jméno = F. G.
 | titul = Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung
 | url = http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002152975
 | jazyk = de
 | trans-title = On the development of a function of arbitrarily many variables according to higher-order Laplace functions
 | id = [https://zbmath.org/?format=complete&q=an:066.1720cj [[ERAM]] 066.1720cj]
 | rok = 1866
 | časopis = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
 | issn = 0075-4102
 | číslo = 66
 | strany = 161–176
 | ref = harv
}}. Viz p. 174, eq. (18) a p. 173, eq. (13).</ref><ref>{{Harvnb|Erdélyi|Magnus|Oberhettinger|Tricomi|1955|s=194}}, 10.13 (22).</ref>
: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x) H_n(y)}{n!} \left(\frac u 2\right)^n = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} e^{\frac{2u}{1 + u}xy - \frac{u^2}{1 - u^2}(x - y)^2}.</math>

Funkce {{math|(''x'', ''y'') → ''E''(''x'', ''y''; ''u'')}} je gaussovská hustota pravděpodobnosti funkce dvou proměnných na {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, která je při přiblížení {{mvar|u}} k 1, velmi zahuštěná kolem přímky {{math|''y'' {{=}} ''x''}} a velmi roztažená dále od této přímky. Odtud plyne, že
: <math>\sum_{n=0}^\infty u^n \langle f, \psi_n \rangle \langle \psi_n, g \rangle = \iint E(x, y; u) f(x) \overline{g(y)} \,\mbox{d}x \,\mbox{d}y \to \int f(x) \overline{g(x)} \,\mbox{d}x = \langle f, g \rangle</math>
pokud jsou funkce {{math|''f''}} a {{math|''g''}} spojité a mají kompaktní support.

Odtud je možné vyjádřit {{mvar|f}} v Hermitově funkci jako sumu řady vektorů v {{math|''L''<sup>2</sup>('''R''')}}, jmenovitě,
: <math>f = \sum_{n=0}^\infty \langle f, \psi_n \rangle \psi_n.</math>

Pro důkaz této rovnosti pro {{math|''E''(''x'',''y'';''u'')}} použijeme opakovaně [[Fourierova transformace|Fourierovu transformaci]] [[Gaussova funkce|Gaussových funkcí]]:
: <math>\rho \sqrt{\pi} e^{-\frac{\rho^2 x^2}{4}} = \int e^{isx - \frac{s^2}{\rho^2}} \,ds \quad \text{for }\rho > 0.</math>

Hermitův polynom je pak reprezentován jako
: <math> H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac {\mbox{d}^n}{\mbox{d}x^n} \left( \frac {1}{2\sqrt{\pi}} \int e^{isx - \frac{s^2}{4}} \,ds \right) = (-1)^n e^{x^2}\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int (is)^n e^{isx - \frac{s^2}{4}} \,ds.</math>

Z této reprezentace {{math|''H<sub>n</sub>''(''x'')}} a {{math|''H<sub>n</sub>''(''y'')}} je zřejmé, že
: <math>\begin{align}
 E(x, y; u) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{2^n n! \sqrt{\pi}} \, H_n(x) H_n(y) e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} \\
  &= \frac{e^{\frac{x^2+y^2}{2}}}{4\pi\sqrt{\pi}}\iint\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n n!} (-ust)^n \right ) e^{isx+ity - \frac{s^2}{4} - \frac{t^2}{4}}\, ds\,dt \\
  & =\frac{e^{\frac{x^2+y^2}{2}}}{4\pi\sqrt{\pi}}\iint e^{-\frac{ust}{2}} \, e^{isx+ity - \frac{s^2}{4} - \frac{t^2}{4}}\, ds\,dt,
\end{align}</math>
což, opět pomocí Fourierovy transformace gaussovských jader při substituci, dává požadovanou identitu
: <math>s = \frac{\sigma + \tau}{\sqrt 2}, \quad t = \frac{\sigma - \tau}{\sqrt 2}.</math>

== Odkazy ==

=== Poznámky ===
<references />

=== Reference ===
{{Překlad|en|Hermite polynomials|1094156497}}{{refbegin|30em}}

=== Literatura ===
* {{Citace monografie
 | příjmení = Abramowitz
 | jméno = Milton
 | příjmení2 = Stegun
 | jméno2 = Irena Ann
 | titul = Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
 | rok = 1972
 | vydání = 9
 | místo = Washington D.C.; New York
 | vydavatel = Dover
 | isbn = 978-0-486-61272-0
 | lccn = 64-60036
 | mr = 0167642
 | ref = harv
 | kapitola = 22
 | strana = 773
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Courant
 | jméno = Richard
 | odkaz na autora = Richard Courant
 | příjmení2 = Hilbert
 | jméno2 = David
 | odkaz na autora2 = David Hilbert
 | titul = Methods of Mathematical Physics
 | ročník = Volume 1
 | vydavatel = Wiley-Interscience
 | orig-year = 1953
 | rok = 1989
 | isbn = 978-0-471-50447-4
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Erdélyi
 | jméno = Arthur
 | odkaz na autora = Arthur Erdélyi
 | příjmení2 = Magnus
 | jméno2 = Wilhelm
 | odkaz na autora2 = Wilhelm Magnus
 | příjmení3 = Oberhettinger
 | jméno3 = Fritz
 | příjmení4 = Tricomi
 | jméno4 = Francesco G.
 | odkaz na autora4 = Francesco Tricomi
 | titul = Higher transcendental functions
 | ročník = II
 | vydavatel = McGraw-Hill
 | rok = 1955
 | url = http://apps.nrbook.com/bateman/Vol2.pdf
 | isbn = 978-0-07-019546-2
 | ref = harv
 }} {{Wayback|url=http://apps.nrbook.com/bateman/Vol2.pdf |date=20110714210423 }}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Fedoryuk
 | jméno = M.V.
 | rok = 2001
 | rok prvního vydání = 1994
 | titul = Hermite function
 | dílo = Encyclopedia of Mathematics
 | vydavatel = EMS Press
}}
* {{Citace monografie
 | titul = Orthogonal Polynomials
 | jméno = Tom H.
 | příjmení = Koornwinder
 | jméno2 = Roderick S. C.
 | příjmení2 = Wong
 | jméno3 = Roelof
 | příjmení3 = Koekoek
 | jméno4 = René F.
 | příjmení4 = Swarttouw
 | editoři = Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W.
 | sborník = NIST Handbook of Mathematical Functions
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | isbn = 978-0-521-19225-5
 | mr = 2723248
 | id = p/o070340
}}
* {{Citace periodika
 | příjmení = Laplace
 | jméno = P. S.
 | titul = Mémoire sur les intégrales déﬁnies et leur application aux probabilités, et spécialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les résultats des observations
 | časopis = Mémoires de l'Académie des Sciences
 | rok = 1810
 | strany = 279–347
 | ref = harv
}} [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77600r/f362.image.r=oeuvres%20completes%20de%20laplace Oeuvres complètes 12, pp.357-412], [http://cerebro.xu.edu/math/Sources/Laplace/defint.pdf anglický překlad/translace] {{Wayback|url=http://cerebro.xu.edu/math/Sources/Laplace/defint.pdf |date=20160304220136 }}.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Shohat
 | jméno = J.A.
 | příjmení2 = Hille
 | jméno2 = Einar
 | příjmení3 = Walsh
 | jméno3 = Joseph L.
 | titul = A bibliography on orthogonal polynomials
 | edice = Bulletin of the National Research Council
 | ročník = Number 103
 | vydavatel = National Academy of Sciences
 | místo = Washington D.C.
 | datum = 1940
 | ref = harv
}} - 2000 referencí of Bibliography na Hermitovy polynomy.
* {{Citace monografie
 | příjmení = Suetin
 | jméno = P. K.
 | rok = 2001
 | rok prvního vydání = 1994
 | titul = Hermite polynomials
 | dílo = Encyclopedia of Mathematics
 | vydavatel = EMS Press
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Szegő
 | jméno = Gábor
 | odkaz na autora = Gábor Szegő
 | titul = Orthogonal Polynomials
 | edice = Colloquium Publications
 | ročník = 23
 | vydavatel = American Mathematical Society
 | vydání = 4
 | orig-year = 1939
 | rok = 1955
 | isbn = 978-0-8218-1023-1
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Temme
 | jméno = Nico
 | titul = Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics
 | vydavatel = Wiley
 | místo = New York
 | datum = 1996
 | isbn = 978-0-471-11313-3
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Wiener
 | jméno = Norbert
 | odkaz na autora = Norbert Wiener
 | titul = The Fourier Integral and Certain of its Applications
 | url = https://archive.org/details/fourierintegralc0000wien_v9u3
 | orig-year = 1933
 | vydání = revised
 | rok = 1958
 | vydavatel = Dover Publications
 | místo = New York
 | isbn = 0-486-60272-9
 | ref = harv
}}
* {{Citace monografie
 | příjmení = Whittaker
 | jméno = E. T.
 | odkaz na autora = E. T. Whittaker
 | příjmení2 = Watson
 | jméno2 = G. N.
 | odkaz na autora2 = G. N. Watson
 | titul = [[A Course of Modern Analysis]]
 | orig-year = 1927
 | rok = 1996
 | vydavatel = Cambridge University Press
 | místo = London
 | vydání = 4
 | isbn = 978-0-521-58807-2
 | ref = harv
}}
{{refend}}

=== Související články ===
* [[Hermitova transformace]]
* [[Legendrovy polynomy]]
* [[Mehlerovo jádro]]
* [[Parabolická válcová funkce]]
* [[Romanovského polynomy]]
* [[Turánovy nerovnosti]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* {{MathWorld|urlname=HermitePolynomial|titul=Hermite Polynomial}}
* [https://www.gnu.org/software/gsl/ GNU Scientific Library] — knihovna pro [[C (programovací jazyk)|jazyk C]] implementující Hermitovy polynomy, funkce, jejich derivace a kořeny (viz také [[GNU Scientific Library]])
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Ortogonální polynomy]]
[[Kategorie:Polynomy]]
[[Kategorie:Speciální hypergeometrické funkce]]