Zobrazení zdroje stránky Centrovaný systém

'''Centrovaný systém''' je [[Matematika|matematický]] pojem z oboru [[teorie množin]], týkající se konkrétně studia systémů [[Podmnožina|podmnožin]] nějaké dané množiny.

== Definice ==
Předpokládejme, že <math> S \,\! </math> je množina podmnožin množiny <math> X \,\! </math> (někdy se také říká, že <math> S \,\! </math> je [[systém množin]] na <math> X \,\! </math>), tj. <math> S \subseteq \mathbb{P}(X) \,\! </math>, kde <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math> je [[potenční množina]] množiny <math> X \,\! </math>.
O množině <math> S \,\! </math> řekneme, že se jedná o '''centrovaný systém''', pokud je [[průnik]] každé její konečné podmnožiny neprázdný:<br />
<math> ( \forall y_1,y_2,\ldots,y_n \isin S)( y_1 \cap y_2 \cap \ldots \cap y_n \neq \emptyset) \,\! </math>

== Vlastnosti a příklady ==

=== Triviální centrovaný systém ===
Pokud má celý systém <math> S \,\! </math> neprázdný průnik, pak je '''centrovaný''' - pro jeho libovolnou neprázdnou podmnožinu <math> Y \subseteq S \,\! </math> (nejen konečnou) platí<br />
<math> \emptyset \neq \bigcap S \subseteq \bigcap Y \implies \emptyset \neq \bigcap Y \,\! </math>

=== Netriviální centrovaný systém ===
Otázka zní, zda existují i nějaké netriviální '''centrované systémy''' - tj. takové, že <math> \bigcap S = \emptyset \,\! </math>, ale přitom je systém (vzhledem ke konečným podmnožinám) centrovaný.

Uvažujme o [[Nekonečná množina|nekonečném]] systému množin [[Přirozené číslo|přirozených čísel]]<br />
<math> S = \{ u_1,u_2,u_3,u_4,\ldots \} \,\! </math>, kde <math> u_i \,\! </math> je množina všech nenulových násobků čísla <math> i \,\! </math>, tj.
* <math> u_1 = \{ 1,2,3,\ldots \} \,\! </math>
* <math> u_2 = \{ 2,4,6,\ldots \} \,\! </math>
* <math> u_3 = \{ 3,6,9,\ldots \} \,\! </math>
* <math> u_4 = \{ 4,8,12,\ldots \} \,\! </math>
* <math> \ldots \,\! </math>

Jedná se o centrovaný systém - vezmeme-li jakoukoliv jeho konečnou podmnožinu a určíme číslo <math> k \,\! </math> jako [[nejmenší společný násobek]] indexů prvků této konečné podmnožiny <math> S \,\! </math> (například pro <math> \{ s_3, s_5, s_6, s_8 \} \,\! </math> je <math> k = 120 \,\! </math>), pak <math> u_k \,\! </math> je (neprázdným) průnikem této podmnožiny.<br />
Navíc se jedná o netriviální centrovaný systém - pokud by byl průnik celého systému <math> \bigcap S \,\! </math> neprázdný, pak by muselo existovat nějaké přirozené číslo <math> n \isin \bigcap S \,\! </math> a tím pádem by muselo mimo jiné být <math> n \isin u_{n+1} \,\! </math>, což je nesmysl.

=== Vztah centrovaných systémů a filtrů ===
Jedním z příkladů pro '''centrovaný systém''' jsou [[Filtr (matematika)|filtry]]. Filtr má nejen neprázdný průnik každé konečné podmnožiny - z podmínky, že filtr musí být [[dolů usměrněná množina]] dokonce plyne, že filtr musí sám v sobě obsahovat všechny průniky svých konečných podmnožin.

To pro centrovaný systém platit nemusí - například systém <math> \{ \{0,1,2 \},\{ 1,2,3 \} \} \,\! </math> je centrovaný, ale rozhodně to není dolů usměrněná množina (neobsahuje totiž množinu <math> \{1,2 \} = \{0,1,2 \} \cap \{ 1,2,3 \} \,\! </math> . Stejně tak nemusí centrovaný systém obsahovat s každou svou množinou i každou její [[Nadmnožina|nadmnožinu]] - nemusí to tedy být [[horní množina]], kdežto filtr ano. To znamená, že zdaleka ne každý centrovaný systém je filtrem.

Na druhou stranu lze každý centrovaný systém <math> S \subseteq \mathbb{P}(X) \,\! </math> rozšířit do nějakého filtru na množině <math> X \,\! </math>. Snadno lze ukázat, že množina<br />
<math> F(S) = \{ Y \subseteq X : (\exist Q \isin [S]^{<\omega})(\bigcap Q \subseteq Y) \} \,\! </math><br />
je nejmenší filtr na <math> X \,\! </math>, který v sobě obsahuje <math> S \,\! </math>.

Výše uvedený zápis vypadá sice hrůzostrašně, ale říká v podstatě toto:
# Vezmu centrovaný systém <math> S \,\! </math>.
# Přidám k němu všechny průniky jeho konečných podmnožin (čímž dostanu dolů usměrněnou nadmnožinu <math> S \,\! </math>).
# K výsledku pak přidám pro každý její prvek i všechny jeho nadmnožiny (čímž dostanu horní nadmnožinu <math> S \,\! </math>, která je stále dolů usměrněná, takže výsledek je filtr).

=== Hlavní věta o ultrafiltrech ===
Úvaha provedená v předchozím odstavci vlastně neříká nic jiného, než že každý '''centrovaný systém''' lze rozšířit (přidáním dalších množin) na filtr. Pokud tento poznatek zkombinuji s tím, že každý filtr lze (podle [[princip maximality|principu maximality]] rozšířit do [[ultrafiltr]]u, dostávám tvrzení nazývané v teorii množin [[Ultrafiltr#hlavní věta o ultrafiltrech|hlavní věta o ultrafiltrech]]:<br />
''Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.''

== Související články ==
* [[Filtr (matematika)|Filtr]]
* [[Ultrafiltr]]
* [[Svaz (matematika)|Svaz]]
* [[Potenční algebra]]
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Teorie uspořádání]]