Zobrazení zdroje stránky Bernoulliho diferenciální rovnice

{{různé významy|tento=[[diferenciální rovnice|diferenciální rovnici]]|druhý=[[mechanika tekutin|mechanice tekutin]]|stránka=Bernoulliho rovnice}}
'''Bernoulliho diferenciální rovnice''' je v [[matematika|matematice]] [[obyčejná diferenciální rovnice]] tvaru:

: <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math>

kde <math>n</math> je [[Reálné číslo|reálná]] [[konstanta]]. Pro <math>n=0</math> přejde Bernoulliho rovnice na [[Lineární diferenciální rovnice#Rovnice prvního řádu|nehomogenní lineární rovnici]], pro <math>n=1</math> na [[Homogenní diferenciální rovnice#Homogenní lineární diferenciální rovnice|homogenní lineární rovnici]].<ref>Weisstein, Eric W. "Bernoulli Differential Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BernoulliDifferentialEquation.html</ref> Rovnice je pojmenována po [[Jacob Bernoulli|Jacobu Bernoullim]], který ji popsal v roce 1695. Význam Bernoulliho diferenciální rovnice tkví v tom, že se jedná o nelineární diferenciální rovnice, u kterých je známo přesné řešení. Speciálním případem Bernoulliho rovnic je [[logistická diferenciální rovnice]].

== Transformace na lineární diferenciální rovnici ==
Pro <math>n = 0</math> a <math>n = 1</math> je Bernoulliho rovnice [[Lineární diferenciální rovnice|lineární]]. Pro <math>n \neq 0</math> a <math>n \neq 1</math> převádí substituce <math>u = y^{1-n}</math> libovolnou Bernoulliho rovnici na [[lineární diferenciální rovnice|lineární diferenciální rovnici]].

Například:

Uvažujme následující diferenciální rovnici: <math>x \frac{dy}{dx}+y=x^2 y^2</math>

Přepíšeme ji do Bernoulliho tvaru (pro <math>n=2</math>): <math>\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y=xy^2</math>

Odtud substitucí <math>u=y^{-1}</math> dostaneme <math>\frac{du}{dx} -\frac{1}{x}u=-x</math>, což je lineární diferenciální rovnice.

== Řešení ==
Nechť <math>x_0 \in (a, b)</math> a
:<math>\left\{\begin{array}{ll}
z: (a,b) \rightarrow (0, \infty)\ ,&\textrm{pro}\ \alpha\in \mathbb{R}\setminus\{1,2\},\\
z: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}\setminus\{0\}\ ,&\textrm{pro}\ \alpha = 2,\\\end{array}\right.</math>
je řešením lineární diferenciální rovnice
:<math>z'(x)=(1-\alpha)P(x)z(x) + (1-\alpha)Q(x).</math>
Odtud plyne, že <math>y(x) := [z(x)]^{\frac{1}{1-\alpha}}</math> je řešením rovnice
:<math>y'(x)= P(x)y(x) + Q(x)y^\alpha(x)\ ,\ y(x_0) = y_0 := [z(x_0)]^{\frac{1}{1-\alpha}}.</math>
a pro každou takovou diferenciální rovnici a pro všechna <math>\alpha>0</math> je <math>y\equiv 0</math> řešením pro <math>y_0=0</math>.

== Příklad ==
Uvažujme Bernoulliho rovnici (v tomto případě [[Riccatiho rovnice|Riccatiho rovnici]]).<ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27-2*y%2Fx%3D-x^2*y^2 y'-2*y/x=-x^2*y^2], Wolfram Alpha, 01-06-2013</ref>
:<math>y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2</math>
Nejprve si všimněme, že jedním řešením je <math>y=0</math>.
Vydělením <math>y^2</math> dostáváme
:<math>y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2</math>
Substitucí proměnných
:<math>w = \frac{1}{y}</math>
:<math>w' = \frac{-y'}{y^2}</math>
dostáváme rovnici
:<math>-w' - \frac{2}{x}w = - x^2</math>
:<math>w' + \frac{2}{x}w = x^2</math>
kterou lze řešit metodou [[integrační faktor|integračního faktoru]]
:<math>M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}\,dx} = e^{2\ln x} = x^2.</math>
vynásobením <math>M(x)</math> dostaneme
:<math>w'x^2 + 2xw = x^4,\,</math>
všimněme si, že levá strana je [[derivace|derivací]] výrazu <math>wx^2</math>. Integrováním obou stran podle <math>x</math> dostáváme rovnici
:<math>\int w'x^2 + 2xw\,dx = \int x^4\,dx</math>
:<math>wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math>
:<math>\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math>
Tedy řešení pro <math>y</math> je
:<math>y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}</math>.

== Odkazy ==

=== Reference ===
{{Překlad|en|Bernoulli differential equation|761659936}}
* {{Citace monografie | příjmení = Bernoulli | jméno = Jacob | author1-spoj=Jacob Bernoulli | titul=Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis | rok=1695 | periodikum = [[Acta Eruditorum]]}}.
* {{Citace monografie | příjmení = Hairer | jméno = Ernst | příjmení2 = Nørsett | jméno2 = Syvert Paul | příjmení3 = Wanner | jméno3 = Gerhard | titul=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems | url = https://archive.org/details/solvingordinaryd0002hair | vydavatel = [[Springer-Verlag]] | místo = Berlin, Nový York | isbn=978-3-540-56670-0 | rok=1993}}.
<references/>

=== Související články ===
* [[Obyčejné diferenciální rovnice]]

=== Externí odkazy ===
* [http://planetmath.org/bernoulliequation Bernoulli equation] na planetmath.org
* [http://planetmath.org/proofofproductrule Differential equation] na planetmath.org
* [http://planetmath.org/indexofdifferentialequations Index of differential equations] na planetmath.org
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Obyčejné diferenciální rovnice]]