Zobrazení zdroje stránky Atan2

{{DISPLAYTITLE:atan2}}
[[Soubor:Atan2definition.svg|náhled|Funkce {{Math|atan2(''y'',&nbsp;''x'')}} vrací úhel {{Mvar|θ}} svíraný [[Polohový vektor|polohovým vektorem]] (průvodičem) bodu {{Math|(''x'',&nbsp;''y'')}} a kladnou poloosou osy ''x'' upravený do intervalu (-π, π⟩]]
[[Soubor:Arctangent2.svg|náhled|Určení kvadrantu pro funkci atan2(''y'', ''x'') argumentu ''y''/''x'']]
'''atan2''' (někde '''arctg2''') je [[Podprogram|funkce]] dostupná v mnoha [[Programovací jazyk|programovacích jazycích]], [[Numerická matematika|numerických]] [[Knihovna (programování)|knihovnách]] a nástrojích pro výpočty, kterou lze použít místo funkce [[arkus tangens]] a která významně usnadňuje převod z [[Ortogonální souřadnice|pravoúhlých souřadnic]] na [[Polární soustava souřadnic|polární]] a podobné úlohy. Funkce je definovaná pro všechny reálné hodnoty dvou parametrů, a v případech, kdy je výraz na pravé straně definován, platí

:<math>atan2(y, x) = \operatorname{arctg}\frac{y}{x}</math>

== Účel ==
Funkce atan2 řeší dva problémy, ke kterým by došlo při použití výrazu <math>\operatorname{arctg}\frac{y}{x}</math>:

* Pokud je x nulové nebo velmi malé, při výpočtu <code>y/x</code> může dojít k chybě [[dělení nulou]] nebo [[přetečení]]; hodnota funkce atan2 je však <math>+\frac{\pi}{2}</math> nebo <math>-\frac{\pi}{2}</math>.
* Při převodu na polární souřadnice potřebujeme úhel v rozsahu celého kruhu, tj. <math>2\pi</math> nebo 360°, zatímco funkce arctg vrací hodnoty v intervalu <math>\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)</math>, neboli (-90°, 90°) – informace o znaménkách obou souřadnic se při použití jednoho parametru ztratí; proto je nutné po použití funkce arctg určovat správnou polorovinu případně kvadrant.

== Definice ==
<math>\operatorname{atan2}(y,x)</math> je [[Funkce (matematika)|funkce]] <math>\mathbb R\times \mathbb R \rarr \langle 0;2\pi)</math> definovaná přepisem:

:<math>\operatorname{atan2}(y,x) = \left\{\begin{matrix} 
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \land (y>=0), \\ 
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li } 
(x<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (x>0) \land (y<0), \\
\frac{\pi}{2}, & \mbox{je-li } (x=0) \land (y>0), \\
\frac{3}{2}\pi, & \mbox{je-li } (x=0) \land (y<0), \\
\end{matrix}\right.</math>

kde arctg(''x'') je [[arkus tangens]].

Striktně matematicky není hodnota <math>\operatorname{atan2}(0,0)</math> definována (nulový vektor nemá definovanou orientaci); pro programování může být libovolná; obvykle se používá [[Nula|0]].

Jiná definice pomocí [[distribuce (matematika)|distribucí]], konkrétně [[Heavisideova funkce|Heavisideovy skokové funkce]] <math>\theta(x)</math>:

:<math>\operatorname{atan2}(y,x) = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)
+\pi\theta(-x)+2\pi\theta(x)\theta(-y).</math>

V programovacích jazycích je funkce atan2 definována tak, že vrací hodnoty v intervalu <math>(-\pi;\pi\rangle </math>.

== Užití ==
Pomocí takto definované funkce můžeme snadno zapsat např. přechod od [[Kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnic]] k [[Polární soustava souřadnic|polárním]]; bod o kartézských souřadnicích <math>(x, y)</math> lze vyjádřit pomocí polárních souřadnic <math>(r, \theta)</math> takto:

:<math>x = r \cos{\varphi}\,</math><br />
:<math>y = r \sin{\varphi}\,</math><br />

odtud

:<math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math><br />
:<math>\varphi = \operatorname{atan2}\left(y,x\right).</math><br />

Funkci atan2(y,x) lze použít také pro přechod mezi [[kartézská soustava souřadnic|kartézskou soustavou souřadnic]] a [[sférická soustava souřadnic|sférickou soustavou souřadnic]], resp. [[válcová soustava souřadnic|válcovou soustavou souřadnic]].

Obdobně, atan2(y,x) nám dává argument [[Komplexní číslo|komplexního čísla]] ''x + iy''.

== Praktická poznámka ==
V programovacích jazycích ([[C (programovací jazyk)|C]], [[PHP]], [[Java (programovací jazyk)|Java]], [[JavaScript]], ...) se vždy píše jako první parametr souřadnice y a jako druhý souřadnice x tj. tvar atan2(y, x).

Ale v tabulkových kalkulátorech ([[Microsoft Excel]], [[LibreOffice Calc]], apod.) bývá použit obrácený tvar tj. atan2(x, y)!

== Odkazy ==

=== Související články ===
* [[Arkus tangens]]
* [[Ortogonální souřadnice]]
* [[Kartézská soustava souřadnic]]
* [[Polární soustava souřadnic]]
* [[Sférická soustava souřadnic]]
* [[Cyklometrická funkce]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Cyklometrické funkce]]