Zobrazení zdroje stránky Absolutní hodnota

'''Absolutní hodnota''' je matematický pojem, který souvisí s pojmy velikosti a vzdálenosti. Vyjadřuje vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od [[nula|nuly]]<ref>{{Citace monografie
| příjmení = Čermák
| jméno = Pavel
| titul = Odmaturuj! z matematiky
| url = https://www.worldcat.org/oclc/53261459
| vydání = Vyd. 2., (opr.)
| vydavatel = Didaktis
| místo = Brno
| počet stran = 208
| isbn = 80-86285-97-9
| isbn2 = 978-80-86285-97-9
| oclc = 53261459
}}</ref> a značí se dvěma svislými čarami: <math>|x|</math>. Absolutní hodnota čísla je vždy číslo nezáporné, tedy větší nebo rovno nule. Absolutní hodnota z [[Kladné číslo|kladného čísla]] je stejné číslo (<math>|x| = x</math>; např.&nbsp;<math>|3| = 3</math>). Absolutní hodnota ze [[Záporné číslo|záporného čísla]] je číslo opačné (<math>|-x| = x</math>; např.&nbsp;<math>|-3| = 3</math>). Absolutní hodnota z&nbsp;nuly je nula.

Zápis ''|''<math>x</math>''|'' s <math>x</math> mezi [[svislice]]mi představil [[Karl Weierstrass]] v&nbsp;roce 1841.<ref>{{Citace elektronického periodika
| titul = Karl Weierstrass - Biography
| periodikum = Maths History
| url = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Weierstrass/
| jazyk = en
| datum přístupu = 2021-02-16
}}</ref> Stejný zápis se užívá taktéž k&nbsp;označení [[mohutnost]]i.

== Definice a vlastnosti ==

=== Reálná čísla ===
Absolutní hodnota reálného čísla <math>a</math> je definována následovně:

:<math>|a| = \begin{cases} a, & \mbox{pokud }  a \ge 0  \\ -a,  & \mbox{pokud } a < 0 \end{cases} </math>

Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota čísla <math>a</math> je vždy nezáporné číslo.

Pro každé [[reálné číslo]] platí:

# <math>|a| = \sqrt{a^2}</math>
# <math>|a| \ge 0</math>
# <math>|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0</math>
# <math>|ab| = |a|.|b|</math>
# <math>|a+b| \le |a| + |b|</math> ([[trojúhelníková nerovnost]])
# <math>|(|a|)|=|a|</math>
# <math>|-a|=|a|</math>
# <math>|a-b|=0\Leftrightarrow a=b</math>
# <math>|a-b|\leq |a-c|+|c-b|</math>
# <math>\bigg|\frac{a}{b}\bigg| = \frac{|a|}{|b|}</math> (pro ''b'' ≠ 0)
# <math>\ |a-b| \ge \Big|(|a| -|b|)\Big|</math>

Absolutní hodnota v nerovnosti (pro <math>b \ge 0</math>):

<math>\ |a| \le b \Leftrightarrow -b \le a \le b</math>

<math>\ |a| \ge b \Leftrightarrow a \le -b \lor b \le a</math>

Tyto vztahy se často používají pro řešení [[Nerovnice|nerovnic]] s absolutní hodnotou.

Například: <br /><math>|x-3|\leq9\Leftrightarrow -9\leq x-3\leq9</math>

<math>\Leftrightarrow-6\leq x\leq12</math><br />

'''Absolutní hodnota funkce''' <math display="inline">|f|: y = |f(x)|, x\in D(f)\subset R</math> je funkce označovaná <math>|f|</math>, jejíž funkční hodnoty jsou rovny <math>|f(x)|</math> a která má definiční obor <math>D (|f|) = D (f)</math>.

Podle definice absolutní hodnoty reálného čísla je:

<math>|f|: y = |f(x)| = \{ \begin{align}&f(x), &\text{pro} \; f (x)\geq 0, \\ &-f(x), &\text{pro} \; f (x)<0 \\ \end{align}</math>

'''Funkce s absolutní hodnotou''' - Tím se rozumí funkce, která vychází z jakékoli funkce ([[Lineární funkce|lineární]], [[Kvadratická funkce|kvadratické]], [[Logaritmická funkce|logaritmické]], [[Goniometrická funkce|goniometrické]] atd.), pokud ve svém předpisu obsahuje absolutní hodnotu.<ref>{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Doležalová
| jméno = Lucie
| titul = Absolutní hodnota v učivu matematiky střední školy
| url = https://is.muni.cz/th/u5lht/
| vydavatel =
| místo = Brno
| datum vydání = 2015
| datum přístupu = 16.2.2021
}}</ref>

'''Absolutní hodnota jako funkce''' je pro reálná čísla definována takto: <math>\ f(x) = |x|</math> . 
[[Soubor:Absolute value.svg|náhled|Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla]]
Její vlastnosti:<ref name=":1">{{Citace elektronického periodika
| titul = Funkce
| periodikum = www2.karlin.mff.cuni.cz
| url = https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~portal/funkce/?page=dffa
| datum přístupu = 2021-03-31
}}</ref>

* <math>D(f) = R;</math>
* <math>H(f) = \langle 0,\infty\bigr)</math>;
* klesající v intervalu <math>\bigl(-\infty, 0 \rangle </math> ;
* rostoucí v intervalu <math>\langle 0,\infty ) </math>;
* je zdola omezená, shora omezená není;
* v bodě 0 má minimum, nemá maximum;
* je sudá, není prostá, není periodická;
* [[spojitost|spojitá]] ve všech bodech a [[derivace|diferencovatelná]] ve všech bodech kromě <math>x</math> = 0.

=== Komplexní čísla ===
Absolutní hodnota komplexního čísla <math>|z|</math> je rovna vzdálenosti bodu, který je obrazem tohoto čísla v [[Gaussova rovina|Gaussově rovině]], od [[Počátek soustavy souřadnic|počátku soustavy souřadnic]]. Všechna komplexní čísla <math>z</math>, která mají stejnou absolutní hodnotu, vyplní v&nbsp;Gaussově rovině [[Kružnice|kružnici]] se středem v počátku a s poloměrem rovným číslu <math>|z| </math>. Absolutní hodnoty komplexních čísel <math>|z_1|,|z_2|,|z_1 + z_2|,|z_1 - z_2| </math> jsou v Gaussově rovině rovny vzdálenostem obrazů komplexních čísel <math>z_1,z_2,z_1 + z_2,z_1 - z_2 </math> od počátku soustavy souřadnic.

Absolutní hodnota [[komplexní číslo|komplexního čísla]] <math>\ z = a + bi</math>, kde <math>a </math> a <math>b </math> jsou reálná čísla, je definována vztahem: <math>|z| =  \sqrt{z.\bar{z}} =\sqrt{a^2+b^2},</math> kde <math>\bar{z} = a - bi.</math>

Vlastnosti:

* Imaginární část <math>b</math> komplexního čísla je rovna nule, pak je absolutní hodnota komplexního rovna absolutní hodnotě reálného čísla <math>a</math>''.''
* Pokud je komplexní číslo v [[Exponenciální funkce|exponenciálním]] (polárním) tvaru jako <math>z = r e^{i \theta}</math> kde ''r ≥ 0'' a ''θ'' náleží reálným číslům absolutní hodnota je <math>|z|=r</math>.
* <math>|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}</math>, kde ''z s pruhem'' je [[Komplexně sdružené číslo|číslo komplexně sdružené]] k <math>z</math>.
* Absolutní hodnota komplexního čísla má vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené výše v rovnicích (2) až (11).
* Pro [[komplexní číslo|komplexní čísla]] je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

=== Kvaterniony ===
viz také [[kvaternion]]

Definice normy kvaternionu: <math>|h| = \sqrt{h h^*}</math>, kde <math>h^* = a-bi-cj-dk</math> .

Norma kvaterninonu, zapsaná v algebraickém tvaru <math>h = a + bi + cj + dk</math> je dána definicí: <math>|h| = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}</math>, kde <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> a <math>d</math> jsou reálná čísla.

=== Vektory ===
viz také [[vektor]]

Absolutní hodnota ([[Norma (matematika)|norma]]) nebo [[délka]] [[vektor]]u v trojrozměrném euklidovském prostoru <math>\mbox{x}=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3</math> je definována výrazem <math>\left | \mbox{x} \right | = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 +  x_3^2}</math> .

Pomocí souřadnic vektoru <math>\mbox{x} \in \mathbb{C}^n </math> v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem: <math>\left | \mbox{x} \right | = \sqrt{|x_1|^2 + |x_2|^2 + ... + |x_n|^2}</math> .

Definice vyjádřená [[Skalární součin|skalárním součinem]]: <math>\left | \mbox{x} \right | = \sqrt{\mbox{x}^* \cdot \mbox{x}}</math>, kde <math>\mbox{x}^*</math> je vektor komplexně sdružených čísel.

Pro normu vektoru se používá označení ||x||, ke zdůraznění, že argumentem normy není číslo, ale vektor.

Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru <math>V</math> zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:

* <math>|x| \ge 0</math> (nezápornost),
* <math>|x| = 0 \leftrightarrow x=0</math> (definitnost),
* <math>| \lambda x | = | \lambda | . | x |</math> ([[Homogenní funkce|homogenita]]),
* <math>|x+y| \le |x| + |y|</math> ([[trojúhelníková nerovnost]]),

pro všechny <math>x,y \in V, \lambda \in \mathbb{C}</math>.

=== Prostory ===
Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla (viz 2. až 5. - reálná čísla) lze použít k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru.

Absolutní hodnota reálná funkce ''v'' v poli F platí, pokud splňuje tyto čtyři axiomy:

* <math>
v(a) \ge 0 </math>
* <math>v(a) = 0 \iff a = \mathbf{0} </math>
* <math>v(ab) = v(a) v(b) </math>
* <math>v(a+b)  \le v(a) + v(b)  </math>

Absolutní hodnotu reálných a komplexních čísel je možno uvést jako příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.

Jestliže ''v'' je absolutní hodnota ''F'', pak funkce ''d'' na F × F, kde ''d(a, b) = v(a − b)'', je metrikou a platí následující:
* <math>d</math> splňuje nerovnost <math>d(x, y) \leq \max(d(x,z),d(y,z))</math> pro všechna <math>x, y, z \in F</math>
* <math> \big\{ v\Big({\textstyle \sum_{k=1}^n } \mathbf{1}\Big) : n \in \mathbb{N} \big\} </math> je omezená v <math>\mathbb{R}</math>
* <math> v\Big({\textstyle \sum_{k=1}^n } \mathbf{1}\Big) \le 1\ </math> pro každé <math>n \in \mathbb{N}</math>
* <math> v(a) \le 1 \Rightarrow v(1+a) \le 1\ </math> pro všechna <math>a \in F</math>
* <math> v(a + b) \le \mathrm{max}\{v(a), v(b)\}\  </math> pro všechna <math>a, b \in F</math>

== Vztah absolutní hodnoty k funkci signum ==
Pomocí znaménkové [[Funkce (matematika)|funkce]] [[Funkce signum|signum]] lze vyjádřit absolutní hodnotu jako

<math>|x| = x \cdot \sgn x</math> .

Platí také

<math>x= |x| \cdot \sgn x</math> .

=== Derivace ===
Funkce absolutní hodnoty má konstantní derivaci pro ''x≠0'', v bodě ''x=0'' neexistuje:  

<math> \frac{d|x|}{dx} = \begin{cases} -1 & x<0 \\ 1 & x>0 \end{cases}</math> .

Platí tedy

<math> \frac{d|x|}{dx} = \frac{|x|}{x} = \sgn x</math> .

Druhá derivace |x| je nula, mimo hodnoty pro ''x=0'', kde neexistuje.

=== Neurčitý integrál ===
Neurčitý [[integrál]] (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:

<math> \int|x|dx=\frac{x|x|}{2}=\frac{x^2}{2} \sgn x.</math>

== Vzdálenost ==
Absolutní hodnota úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na [[Reálná osa|reálné ose]] pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). Obecně: absolutní hodnota rozdílu dvou čísel (reálných nebo komplexních) je vzdálenost mezi nimi.

Standardní [[eukleidovská metrika]] mezi dvěma body

<math> a = (a_1, a_2, \dots , a_n) </math>

a

<math> b = (b_1, b_2, \dots , b_n) </math>

je v [[Eukleidovský prostor|eukleidovském prostoru]] definována jako

<math> \sqrt{\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}. </math>

Absolutní hodnotu rozdílu ''|a − b|,'' kde ''a'' i ''b'' jsou reálná čísla, lze vyjádřit jako

<math> |a - b| = \sqrt{(a - b)^2}. </math>

Zatímco absolutní hodnotu rozdílu ''|a − b|'', kde ''a'' i ''b'' jsou komplexní čísla

<math>  a = a_1 + i a_2  </math> a <math>  b = b_1 + i b_2  </math> , pak

<math> 
|a - b| 	 = |(a_1 + i a_2) - (b_1 + i b_2)| </math>

<math> 
 = |(a_1 - b_1) + i(a_2 - b_2)| </math>

<math> 
= \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}. </math>

=== Zobecnění ===
Reálné [[zobrazení]] <math>d: \mathcal{M} \times \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}</math> se nazývá [[Metrický prostor#Definice|metrika]], jestliže splňuje tyto čtyři axiomy (pro libovolná <math>a, b, c \in \mathcal{M}</math>):

<math> 
d(a, b) \ge 0  </math>

<math> 
d(a, b) = 0 \iff a = b  </math>

<math> 
d(a, b) = d(b, a)  </math>

<math> 
d(a, b)  \le d(a, c) + d(c, b)   </math>

== Reference ==
<references />

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Numerická matematika]]
[[Kategorie:Unární operátory]]