Věta o translaci

Věta o translaci (Šablona:Vjazyce2) je matematická věta o polynomiálních diferenciálních operátorech (D-operátorech) a exponenciálních funkcích. V určitých případech umožňuje vytýkat exponenciální funkce před D-operátor.

Tvrzení

Věta o translaci říká, že jestliže P(D) je polynomiální D-operátor, pak pro libovolnou dostatečně derivovatelnou funkci y platí

$P(D)(e^{ax}y)\equiv e^{ax}P(D+a)y.$

Důkaz

Pro důkaz použijeme matematickou indukci. Stačí dokázat pouze speciální případ

$P(D)=D^n$

protože obecný výsledek z něho vyplývá díky linearitě D-operátorů.

Tvrzení je zřejmě pravdivé pro n = 1, protože

$D(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)y.$

Pro důkaz matematickou indukcí budeme předpokládat, že tvrzení je pravdivé pro n = k, tj.

$D^k(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a{)}^{k}y.$

Pak

$\begin{array}{cc}{D}^{k+1}(e^{ax}y)& \equiv \frac{d}{dx}\{e^{ax}(D+a{)}^{k}y\}\\ & =e^{ax}\frac{d}{dx}\{(D+a{)}^{k}y\}+a{e}^{ax}\{(D+a{)}^{k}y\}\\ & =e^{ax}\{(\frac{d}{dx}+a)(D+a{)}^{k}y\}\\ & =e^{ax}(D+a{)}^{k+1}y.\end{array}$

Což uzavírá důkaz.

Další použití

Větu o translaci lze použít i pro inverzní operátory:

$\frac{1}{P(D)}(e^{ax}y)=e^{ax}\frac{1}{P(D+a)}y.$

Existuje podobná verze věty o translaci pro Laplaceovy transformace ($t<a$):

$ℒ(e^{v}f(t))=ℒ(f(t-a)).$