Věta o dimenzích součtu a průniku podprostorů

Věta o dimezích součtu a průniku podprostorů, též zvané věta o dimenzích spojení a průniku apod. je tvrzení z lineární algebry jež uvádí souvislost dimenzí dvou podprostorů téhož vektorového prostoru.

Jde o analogii principu inkluze a exkluze pro dva vektorové prostory.

Znění

Nechť $U$ a $V$ jsou dva podprostory téhož prostoru $W$ a oba mají konečnou dimenzi. Pak platí:

$\dim U+\dim V=\dim (U\cap V)+\dim (U+V)$,

přičemž součet $U+V$ značí podprostor $W$ určený množinou $\{𝒖+𝒗:𝒖\in U,𝒗\in V\}$.

Ukázky

Jsou-li $U$ a $V$ dvě roviny procházející počátkem v třírozměrném euklidovském prostoru $W={ℝ}^3$, potom oba mají dimenzi 2, jejich průnikem je přímka, což je jednodimenzionální prostor a součtem $U+V$ je celý prostor $W={ℝ}^3$.

Vztah uvedený ve větě odpovídá rovnosti:

$\dim U+\dim V=2+2=1+3=\dim (U\cap V)+\dim (U+V)$

Pro další ukázku nechť $U$ a $V$ jsou dva třídimezionální podprostory prostoru $W$ dimenze 5. Součet $U+V$ je též podprostorem $W$, a tak jeho dimenze nemůže přesáhnout hodnotu 5.

Rovnost uvedená ve větě vede na odhad:

$\dim (U\cap V)=\dim U+\dim V-\dim (U+V)\ge 3+3-5=1$,

z něhož vyplývá, že lze nalézt alespoň jeden nenulový vektor ležící v $U$ a současně ve $V$. Tato skutečnost vyplývá čistě ze znalostí dimenzí podprostorů $U$ a $V$, aniž by bylo třeba zkoumat jejich další vlastnosti.

Důkaz

Protože $U\cap V$ je podprostorem prostoru $W$, má nějakou bázi $\{{𝒖}_1,\dots ,{𝒖}_k\}$, kde $k=\dim (U\cap V)$.

Pomocí Steinitzovy věty o výměně lze rozšířit množinu vektorů $\{{𝒖}_1,\dots ,{𝒖}_k\}$ o celkem $l$ lineárně nezávislých vektorů ${𝒖}_{k+1},\dots ,{𝒖}_{k+l}$ na bázi podprostoru $U$. Podobně lze tutéž množinu $\{{𝒖}_1,\dots ,{𝒖}_k\}$ rozšířit o vektory ${𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_m$ na bázi prostoru $V$. Z konstrukce vyplývá, že $\dim U=k+l$ a $\dim V=k+m$.

Zbývá ověřit, že množina $B=\{{𝒖}_1,\dots ,{𝒖}_{k+l},{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_m\}$ je jednou z možných bází podprostoru $U+V$.

Libovolné vektory $𝒖\in U$ a $𝒗\in V$ jsou lineárními kombinacemi vektorů z $B$, a proto tato množina generuje podprostor $U+V$.

V hypotetické situaci, kdyby množina $B$ netvořila bázi a byla tudíž lineárně závislá, bylo by možné najít koeficienty $a_1,\dots ,a_{k+l},b_1,\dots ,b_m$ netriviální lineární kombinace takové, že:

$\sum _{i=1}^{k+l}{a}_i{𝒖}_i+\sum _{i=1}^m{b}_i{𝒗}_i=0$

Potom by vektor $𝒘$, daný výrazem $𝒘=\sum _{i=1}^{k+l}{a}_i{𝒖}_i$, splňoval i $𝒘=\sum _{i=1}^m{b}_i{𝒗}_i$. Protože by v alespoň jedné z těchto rovností byl na pravé straně nenulový koeficient u alespoň jednoho z členů, a vektory v obou kombinacích jsou lineárně nezávislé, byl by vektor $𝒘$ nenulový. V důsledku by obě lineární kombinace byly netriviální.

Ovšem z první z kombinací vyplývá $𝒘\in U$, z druhé $𝒘\in V$, v důsledku $𝒘\in U\cap V$, a tak jediné nenulové koeficienty mohou být z množiny $a_1,\dots ,a_k$. V důsledku by druhá lineární kombinace byla triviální, čili $𝒘=\sum _{i=1}^m{b}_i{𝒗}_i=\sum _{i=1}^{m}0{𝒗}_i=0$, což není možné.

Proto zkoumaný předpoklad, že by množina $B$ byla lineárně závislá, je sporný. Množina $B$ je ve skutečnosti lineárně nezávislá a tvoří bázi prostoru $U+V$.

Platnost věty již pak přímo vyplývá z rovnosti:

$\dim U+\dim V=(k+l)+(k+m)=k+(k+l+m)=\dim (U\cap V)+\dim (U+V)$

Dlužno podotknout, že v uvedené konstrukci mohou být jeden i více parametrů $k,l,m$ nulových, což pak odpovídá situaci, kdy prostory $U$ a $V$ jsou až na počátek disjuktní, nebo jsou v inkluzi, či se shodují.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Vektorový prostor
• Lineární zobrazení
• Matice
• Soustava lineárních rovnic