Univerzální třída

Univerzální třída je matematický pojem z oboru teorie množin označující třídu všech množin.

Označení a formální definice

Univerzální třída se obvykle značí $𝕍$ a bývá definována jako $𝕍=\{x:x=x\}$. S ohledem na to, že $=$ je reflexivní relace, patří do takto definované třídy všechny množiny.

Vlastnosti univerzální třídy

• Univerzální třída $𝕍$ obsahuje každou množinu nejen jako svůj prvek, ale zároveň také jako svojí podmnožinu.

Tento závěr vyplývá z faktu, že prvkem množiny může být opět pouze množina, tedy každý prvek každé množiny patří do $𝕍$. Pokud ale každý prvek nějaké množiny patří do $𝕍$, pak je podle definice tato množina podmnožinou $𝕍$.

• Univerzální třída $𝕍$ není množina (je to tedy vlastní třída).

Pokud by $𝕍$ byla množina, pak je podle axiomu potence množinou také její potenční množina $\mathbb{P}(𝕍)$. Podle Cantorovy věty má $\mathbb{P}(𝕍)$ větší mohutnost než $𝕍$, ale podle předchozího odstavce je zároveň $\mathbb{P}(𝕍)$ podmnožinou $𝕍$, což je sporné tvrzení (podmnožina nemůže mít větší mohutnost, než celá množina).

• Univerzální třída $𝕍$ není jedinou vlastní třídou – existují i „menší“ vlastní třídy, například třída $𝕆n$ všech ordinálních čísel nebo třída $ℂn$ všech kardinálních čísel.

To mimo jiné znamená, že ve vztahu z prvního odstavce $x\in 𝕍⟹x\subseteq 𝕍$ nelze obrátit implikaci.

Vztah k různým dodatečným předpokladům ZF

Vlastnosti univerzální třídy se mohou značně lišit v závislosti na tom, jaké dodatečné předpoklady přijmeme k axiomatizaci Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu fundovanosti (tato teorie se obvykle značí $Z{F}_{-}$).

• axiom fundovanosti (AF): Pak $𝕍$ je rovna fundovanému jádru $𝕎𝔽$ (třídě, která vznikne z prázdné množiny iterováním operace potence)
• axiom konstruovatelnosti (V=L): Pak $𝕍$ je rovna třídě konstruovatelných množin $𝕃$ (třídě, která vznikne z prázdné množiny postupným uzavíráním na Gödelovské operace)
• axiom silného výběru (AS): Pak existuje bijekce mezi $𝕍$ a třídou $𝕆n$ všech ordinálních čísel.
• axiom silného výběru (AS) + axiom superuniverzality (ASU): Pak existuje netriviální elementární vnoření $𝕍$ do $\kappa$-saturované tranzitivní třídy.

Související články

• Fundované jádro
• Konstruovatelná množina
• Teorie množin
• Třída
• Vlastní třída