Symetrická diference

Vennův diagram pro $A\mathrm{△}B,$
Symetrický rozdíl množin je
Sjednocení bez průsečíku množin
$\setminus$ $=$

V matematice se jako symetrická diference nebo symetrický rozdíl dvou množin označuje taková množina, která obsahuje všechny prvky z obou množin, které nejsou v jejich průniku. Symetrická diference množin A a B se značí jako

$A\mathrm{△}B$

nebo

$A÷B$

nebo

$A\ominus B.$

Například symetrická diference množin $\{1,2,3\}$ a $\{3,4\}$ je množina $\{1,2,4\}$. Symetrická diference množin dívek a studentů je množina všech dívek, které nejsou studentky, a všech chlapců studentů.

Potenční množina libovolné množiny s operací symetrické diference je abelovou grupou; neutrální prvek grupy je prázdná množina, a protože symetrická diference množiny se sebou samou je prázdná množina, tak každý prvek potenční množiny je svým vlastním inverzním prvkem.

Vlastnosti

Vennův diagram pro $A\mathrm{△}B\mathrm{△}C$
$\mathrm{△}$ $=$

Symetrická diference je ekvivalentní se sjednocením obou rozdílů množin:

$A\mathrm{△}B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

a také může být vyjádřena jako sjednocení dvou množin bez jejich průniku:

$A\mathrm{△}B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$

nebo pomocí operace XOR:

$A\mathrm{△}B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.$

Zvláště pak platí, že:

$A\mathrm{△}B\subseteq A\cup B.$

Symetrická diference je komutativní a asociativní:

$A\mathrm{△}B=B\mathrm{△}A,$

$(A\mathrm{△}B)\mathrm{△}C=A\mathrm{△}(B\mathrm{△}C).$

Průnik je distributivní nad symetrickou diferencí:

$A\cap (B\mathrm{△}C)=(A\cap B)\mathrm{△}(A\cap C),$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat