Přímý důkaz

Šablona:Různé významy Přímý důkaz se v matematice používá k dokázání výroku, který má tvar implikace, kde $A$ je výchozí předpoklad a $B$ je výrok, který má být dokázán resp. odvozen (zápis $A\Rightarrow B$; věta ve tvaru „Jestliže platí předpoklad $A$, pak platí také tvrzení $B$“). Při dokazování pomocí přímého důkazu, je nutné si uvědomit, že pravdivost implikace lze dokázat bez znalosti pravdivosti jednotlivých výroků, které spojuje (na základě pravdivostní tabulky implikace). Důkaz vychází z předpokladu, na jehož základě jsou odvozována dílčí tvrzení tak dlouho, až se dospěje k dokazovanému tvrzení. Všechny kroky implikací jsou vyhodnoceny jako pravdivé, a tedy i odvozovaná tvrzení jsou pravdivá.

Zápis schematicky: $(A\Rightarrow A_1)\wedge (A_1\Rightarrow A_2)\wedge \cdots \wedge (A_{n-1}\Rightarrow A_n)\wedge (A_n\Rightarrow B)$

Přímý důkaz jednoduchého výroku

Příklad1: $a>1\Rightarrow a^2>1$ (dokažte: jestliže platí, že a je větší než 1 pak platí také, že a na druhou je větší než 1)

Postup po krocích:

• Protože $a>1$, jistě platí také $a>0$ a též .
• Protože $a$ není rovno nule a je kladné, proměnnou lze vynásobit celou nerovnici. (Pokud $a=0,$ nelze násobit, pokud $a<0,$ při násobení by se obrátila nerovnost). Po vynásobení proměnnou $a$ : $a>1=a^2>a$.
• Je zřejmé , že $a>1$ a zároveň platí $a^2>a$. Složením výrazů vznikne: $a^2>a>1$
• Odstraněním prostředního výrazu vznikne výraz: $a^2>1$. To lze zapsat, protože $a$ je větší než jedna a $a^2$ je větší než $a$. Pokud je $a^2$ větší než $a$, je zároveň větší než jedna, pak je jistě $a^2$ větší než jedna.

Symbolicky lze zapsat: $a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1$

Přímý důkaz implikace

Implikaci lze dokázat podobně jako jednoduchý výrok. Místo úvodního pravdivého tvrzené (výroku) se vezme „levá strana“ implikace. Pro dokázání implikace $A\Rightarrow B$ , se vyjde z výroku $A$  a vytvoří se řetězec pravdivých implikací: $A\Rightarrow C\Rightarrow D\Rightarrow ...\Rightarrow B$.

Příklad 2: Dokažte, že pro všechna reálná čísla platí nerovnice$$\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\ge \frac{|x+y|}{2}.$$

Ekvivalentní úpravy - umocnění obou stran nerovnice: $$\frac{x^2+y^2}{2}\ge (\frac{x+y}{2}{)}^2,$$

umocnění pravé strany nerovnice, odstranění zlomku a zjednodušení:$$\frac{x^2+y^2}{2}\ge \frac{x^2+2xy+y^2}{4},$$$$2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2,$$$$x^2-2xy+y^2\ge 0,$$$$(x-y{)}^2\ge 0.$$

Protože všechny provedené úpravy byly ekvivalentní, vyplývá z platného tvrzení $(x-y{)}^2\ge 0$ platnost všech předchozích úprav. Proto musí být nutně platné i původní tvrzení $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\ge \frac{|x+y|}{2}$

Z úprav také plyne, že ve všech případech také nastane rovnost, a to pro hodnotu, kdy $x=y.$

Související články

• Matematický důkaz
• Nepřímý důkaz
• Důkaz sporem
• Matematická indukce

Externí odkazy

Řešené příklady (SŠ) Šablona:Autoritní data