Nerovnosti mezi průměry

Nerovnosti mezi průměry v matematice vyjadřují nejčastěji vztah mezi kvadratickým, aritmetickým, geometrickým a harmonickým průměrem.

Existuje mnoho průměrů, ze známějších např. zobecněný mocninný (např. odmocninový, kubický), Heronův, aritmeticko-geometrický, logaritmický, harmonicko-kvadratický, kontraharmonický – které lze do nerovností zapsat. Jejich běžné užití je však (kromě Heronova průměru) spíše sporadické.

Vzorec

Označíme-li dané kladné čísla postupně kvadratický průměr jako $K$, aritmetický průměr $A$, geometrický průměr $G$ a harmonický průměr $H$, pak platí:

$K\ge A\ge G\ge H$

Rovnost navíc nastává právě tehdy, když jsou všechna průměrovaná čísla stejná.

Například pro čísla 1 a 9 je

$K=\sqrt{\frac{1^2+9^2}{2}}\dot{=}6,4\ge A=5\ge G=\sqrt{9}=3\ge H=\frac{1}{\frac{1+1/9}{2}}=1,8$

Nejdůležitější z těchto nerovností je nerovnost aritmetického a geometrického průměru, nazývaná též AG nerovnost.

Související články

• Nerovnost aritmetického a geometrického průměru
• Kvadratický průměr
• Aritmetický průměr
• Geometrický průměr
• Harmonický průměr

Externí odkazy

• Nerovnosti na stránkách matematického korespondenčního semináře MFF UK