Metoda řetězových zlomků

Metoda řetězových zlomků je numerický algoritmus navržený k řešení integrálních rovnic teorie rozptylu jako jsou Lippmann-Schwingerova rovnice nebo Faddeevovy rovnice. Byla vyvinuta Jiřím Horáčkem a T. Sasakawou na Tohoku University v Sendai v Japonsku v roce 1983. Metoda řeší integrální rovnici tvaru

$|\psi ⟩=|\varphi ⟩+G_{0}V|\psi ⟩$

pomocí iterací, přičemž konstruuje řetězový zlomek pro T-matici

$T=⟨\varphi |V|\psi ⟩.$

Metoda existuje ve dvou variantách. V první z nich (označené zkratkou MCFV) konstruujeme aproximace operátoru potenciální energie $V$ ve formě separabilní funkce ranku 1, 2, 3 ... Ve druhé variantě (metoda MCFG) konstruujeme separabilní aproximace Greenova operátoru. Aproximace jsou konstruovány pomocí vektorů z Krylovova prostoru $|\varphi ⟩,G_{0}V|\varphi ⟩,(G_{0}V{)}^2|\varphi ⟩,...$. Tyto metody lze rovněž chápat jako resumaci (obecně divergentní) Bornovy řady pomocí Padého aproximantů. Metoda MCFV je rovněž úzce svázána se Schwingerovým variačním principem. Z numerického hlediska metoda vyžaduje stejnou výpočetní náročnost jako konstrukce členů Bornovy řady, ale mnohem rychleji konverguje.

Algoritmus MCFV

Prvním krokem odvození metody je zavedení separabilní aproximace potenciálu

$V=\frac{V|\varphi ⟩⟨\varphi |V}{⟨\varphi |V|\varphi ⟩}+V_1.$

Integrální rovnice se separabilním potenciálem se dá snadno vyřešit. Řešení původního problému pak lze vyjádřit jako

$|\psi ⟩=|\varphi ⟩+T|{\psi }_1⟩,T=\frac{⟨\varphi |V|\varphi {⟩}^2}{⟨\varphi |V|\varphi ⟩-⟨\varphi |V|{\psi }_1⟩},$

pomocí funkce $|{\psi }_1⟩$, která řeší modifikovanou Lippmann-Schwingerovu rovnici

$|{\psi }_1⟩=|{\varphi }_1⟩+G_0{V}_1|{\psi }_1⟩,$

kde $|{\varphi }_1⟩=G_{0}V|\varphi ⟩.$ Zbytkový potenciál $V_1$ je průhledný pro přicházející vlny

$V_1|\varphi ⟩=⟨\varphi |V_1=0,$

tj. jde o slabší operátor, než původní potenciál. Nová rovnice pro $|{\psi }_1⟩$ má stejný tvar jako původní rovnice a můžeme ji dále řešit stejnou úpravou. To vede na rekurentní relace

$V_i=V_{i-1}-\frac{V_{i-1}|{\varphi }_{i-1}⟩⟨{\varphi }_{i-1}|V_{i-1}}{⟨{\varphi }_{i-1}|V_{i-1}|{\varphi }_{i-1}⟩}$

$|{\varphi }_i⟩=G_0{V}_{i-1}|{\varphi }_{i-1}⟩.$

Dá se ukázat, že T-matici pro původní problém můžeme vyjádřit ve formě řetězového zlomku

$T=\frac{{\beta }_0^2}{{\beta }_0-{\gamma }_1-\frac{{\beta }_1^2}{{\beta }_1-{\gamma }_2-\frac{{\beta }_2^2}{{\beta }_2-{\gamma }_3-\ddots }}},$

kde jsme zavedli

${\beta }_i=⟨{\varphi }_{i-1}|V_{i-1}|{\varphi }_{i-1}⟩,{\gamma }_i=⟨{\varphi }_{i-1}|V_{i-1}|{\varphi }_i⟩.$

Při praktických výpočtech nahradíme nekonečný řetězový zlomek konečným tak, že položíme

${\beta }_N={\beta }_{N+1}=\dots =0,{\gamma }_N={\gamma }_{N+1}=\dots =0.$

To je ekvivalentní předpokladu, že zbytkové řešení

$|{\psi }_N⟩=|{\varphi }_N⟩+G_0{V}_N|{\psi }_N⟩,$

je zanedbatelné. To je rozumný předpoklad, neboť zbytkový potenciál $V_N$ má všechny vektory $|{\varphi }_i⟩,i=0,1,...,N-1$ ve svém nulovém prostoru. Dá se ukázat, že potenciál konverguje k nule a řetězový zlomek konverguje k přesné T-matici.

Algoritmus MCFG

Druhá varianta algoritmu vychází z konstrukce aproximací Greenova operátoru

$G_{i+1}=G_i-\frac{|{\varphi }_{i+1}⟩⟨{\varphi }_{i+1}|}{⟨{\varphi }_i|V|{\varphi }_{i+1}⟩},$

tentokrát pomocí vektorů

$|{\varphi }_{i+1}⟩=G_{i}V|{\varphi }_i⟩$.

Vyjádření T-matice řetězovým zlomkem zůstává v platnosti, ale s trochu modifikovanou definicí koeficientů ${\beta }_i,{\gamma }_i$.

Vlastnosti a vztah k jiným metodám

Ukazuje se, že výrazy pro T-matici, vycházející z obou metod dávají určitou třídu variačních principů, což zdůvodňuje rychlou konvergenci. Ve speciálním případě první iterace metodu MCFV dostaneme stejný výsledek jako ze Schwingerova variačního principu s použitím testovací funkce $|\psi ⟩=|\varphi ⟩$. V případě metody MCFV reprodukují vyšší iterace s N členy řetězového zlomku 2N členů Bornovy řady. Pro metodu MCFG je to dokonce 2N+1 členů. Dále se dá ukázat, že obě metody dají přesné řešení Lippmann-Schwingerovy rovnice pokud je potenciál operátor konečného ranku. Počet iterací je pak roven ranku potenciálu. Metoda řetězových zlomků byla úspěšně používána v jaderné a molekulové fyzice.