Mathissonovy–Papapetrouovy–Dixonovy rovnice

Šablona:Soubox Ve fyzice, přesněji v obecné teorii relativity, soustava Mathissonových-Papapetrouových-Dixonových rovnic popisuje pohyb (klasické) testovací částice se dvěma vnitřními stupni volnosti -- hmotností (monopólem) a spinem (dipólem), ve vnějším gravitačním poli. Jsou odvozeny ze zákonů zachování a je pro ně charakteristické, že obecně algebraicky nespojují 4-hybnost a 4-rychlost spinující částice, což mimo jiné znamená, že 4-hybnost a 4-rychlost částice nemusejí být paralelní.

Znění

Mějme prostoročas s Lorentzovou metrikou $(T,g)$ spolu s Riemannovou konexí $\mathrm{\nabla }$ a k ní příslušejícím Riemannovým tenzorem $R$. Pokud $\gamma (t)$ je hladká křivka v $T$ parametrizovaná tak, aby její tečné vektorové pole $U$ splňovalo $g(U,U)=-1$, a pokud tato křivka reprezentuje světočáru spinující částice s hybností $P$ a bivektorem spinu $J$, pak podél $\gamma$ platí:

${\mathrm{\nabla }}_{U}P=-\frac{1}{2}R(J)U,$

${\mathrm{\nabla }}_{U}J=P\wedge U.$

Vlastnosti

• Mathissonovy-Papapetrouovy-Dixonovy rovnice představují podurčený systém: 10 rovnice (4+6) pro 13 neznámých (3 složky $U$, 4 složky $P$ a 6 složek $J$). Je tedy nutné jej doplnit dalšími rovnicemi. Obvyklou volbou jsou podmínky kladené na bivektor spinu $J$ -- dodatečné spinové podmínky; nejpoužívanějšími jsou

Piraniho podmínka: $i_{\mathrm{♭}U}J=0$,

Tulczyjewova podmínka: $i_{\mathrm{♭}P}J=0$

($\mathrm{♭}$ značí snížení indexu metrikou $g$).

• Pokud je $W$ hladké časupodobné vektorové pole podél $\gamma$, které spolu s $J$ splňují $i_{\mathrm{♭}W}J=0$, pak je čtyřvektor spinu definován jako $S$ vztahem

$S:=\ast (J\wedge W)$.

Literatura

• Papapetrou A., Spinning Test-Particles in General Relativity. I, Proc. Roy. Soc. London A. roč. 209. DOI: 10.1098/rspa.1951.0200
• Dixon W. G., Dynamics of Extended Bodies in General Relativity. I. Momentum and Angular Momentum, Proc. Roy. Soc. London A, 1970, roč. 314. DOI: 10.1098/rspa.1970.0020
• Semerák O., Spinning test particles in a Kerr field – I, Mon. Not. R. Astron. Soc. 1999, roč. 308. DOI: 10.1046/j.1365-8711.1999.02754.x