Kvartická rovnice

Kvartická rovnice je algebraická rovnice čtvrtého stupně o jedné neznámé. Lze ji vyjádřit v obecném tvaru

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$,

kde $a\ne 0$.

U kvartických rovnic se používá následující terminologie:

• $a{x}^4$ – kvartický člen
• $b{x}^3$ – kubický člen
• $c{x}^2$ – kvadratický člen
• $dx$ – lineární člen
• $e$ – absolutní člen

Bikvadratická rovnice

Speciálním případem kvartické rovnice je rovnice bikvadratická, která má tvar

$a{x}^4+b{x}^2+c=0$

Řešení bikvadratické rovnice

Bikvadratickou rovnici lze řešit pomocí substituce $z=x^2$, čímž vznikne kvadratická rovnice

$a{z}^2+bz+c=0$

Řešení této kvadratické rovnice lze vyjádřit ve tvaru

$z_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Toto řešení použijeme pro získání hodnot $x$, které jsou řešením původní bikvadratické rovnice, přičemž platí

$x_{1,2}=\pm \sqrt{z_1}$

$x_{3,4}=\pm \sqrt{z_2}$

Obecné řešení kvartické rovnice

Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná algebraicky ("v radikálech", tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). Jako první nalezl řešení Ital Lodovico Ferrari v polovině 16. století, veden svým učitelem Girolamem Cardanem. Dnes existuje více metod řešení, např. následující postup Reného Descarta.

1. Obecnou kvartickou rovnici

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$.

Normujeme, tj. vydělíme rovnici vedoucím koeficientem $a\ne 0$ a získáme rovnici s vedoucím koeficientem 1:

$x^4+B{x}^3+C{x}^2+Dx+E=0$

2. Zbavíme se kubického členu substitucí (posunutí proměnné)

$x=y-\frac{B}{4}$

a rovnice získá tzv. redukovaný tvar:

$y^4+p{y}^2+qy+r=0(1)$

3. Rozložíme čtyřčlen na dva (normované) kvadratické trojčleny. Označme koeficienty $K$,$L$, $M$, $N$. Má tedy platit:

$y^4+P{y}^2+Qy+R=(y^2+Ky+L)(y^2+My+N)$.

Aby rovnost mnohočlenů platila, musí mít stejné koeficienty, což zjistíme roznásobením:

$K+M=0$.

$KM+L+N=p$

$KN+LM=q$

$LN=r$

4. První nejjednodušší lineární rovnice $M=-K$ je důsledkem požadavku na vymizení kubického členu. Dosadíme za $M$ do následujících rovnic

$-K^2+L+N=p$,

$KN-KL=q$,

$LN=r$.

5. První dva z těchto vztahů ještě upravíme, aby vlevo zůstaly jen neznámé $L,N$:

$L+N=p+K^2,$

$L-N=-\frac{q}{K},$

$LN=r$.

6. Následuje nejsložitější obrat. Zaměříme se nyní na neznámé $L,N$. Pro součet, rozdíl a součin dvou libovolných čísel $X,Y$ platí vztah

$(X+Y{)}^2-(X-Y{)}^2=4XY$,

který použijeme na neznámé $L$ a $N$ v rovnicích 5. kroku:

$(p+K^2{)}^2-(-\frac{q}{K}{)}^2=4r.$

7. Rovnici pro jedinou neznámou $K$ snadno upravíme:

$K^6+2p{K}^4+K^2(p^2-4r)-q^2=0$

8. Rovnice obsahuje pouze sudé mocniny neznámé $K$. Substitucí $s=K^2$ získáme kubickou rovnici, tzv. kubickou resolventu

$s^3+2p{s}^2+(p^2-4r)s-q^2=0$,

kterou vyřešíme.

9. Zjistili jsme neznámou $s$ a tedy i $K$. Po dosazení číselné hodnoty $K$ do vztahů z 5. kroku snadno zjistíme hodnoty $L$, $N$. Tím jsme nalezli konkrétní číselné koeficienty obou trojčlenů

$(y^2+Ky+L)(y^2-Ky+N)=0$.

10. Kořeny $y_{1,2}$ získáme vyřešením kvadratické rovnice $y^2+Ky+L=0$, zatímco kořeny $y_{3,4}$ vyřešením kvadratické rovnice $y^2-Ky+N=0$.

11. Známe-li kořeny $y_{1,2,3,4}$, pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice $x_{1,2,3,4}$.

Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned, a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.

Např. rovnici $x^4+6x^3-x-6=0$ lze snadno rozložit na $(x+6)(x^3-1)=0$, popř. ještě dál na: $(x+6)(x-1)(x^2+x+1)=0$, a tak uhodnout z hlavy kořeny $x_1=-6$, $x_2=1$.

Obrázky

Vzorce, které ukazují obecné řešení redukovaného tvaru rovnice (1).

• 
  první ze čtyř řešení kvartické rovnice
• 
  druhé ze čtyř řešení kvartické rovnice
• 
  třetí ze čtyř řešení kvartické rovnice
• 
  čtvrté ze čtyř řešení kvartické rovnice

Ještě složitější vzorce by vycházely pro normovaný tvar kvartické rovnice.

Související články

• Trinomická rovnice
• Kvintická rovnice

Externí odkazy

• Quartic Equation Šablona:En