Kvadratická forma

Kvadratická forma je kvadratická funkce na vektorovém prostoru, zúžení (restrikce) bilineární formy.

Kvadratické formy jsou důležitým matematickým pojmem, vyskytují se například v geometrii kvadrik nebo teorii čísel. Užívají se také ve fyzice a např. jako energie systému.

Definice

Nechť $\beta :Y\times Y\to T$ je bilineární forma na vektorovém prostoru $Y$ nad tělesem $T$. Pak funkce

$f(𝐡)=\beta (\mathbf{\text{𝐡}},\mathbf{\text{𝐡}})$

se nazývá kvadratická forma na $Y$.

Základní vlastnosti

Všechny kvadratické formy jsou homogenní funkce 2. řádu, tzn.

$f(t\mathbf{\text{𝐡}})=t^{2}f(\mathbf{\text{𝐡}})$

pro všechna $t\in ℝ$ a $\mathbf{\text{𝐡}}\in Y$.

Nejběžnější kvadratická forma na prostoru s reálným skalárním součinem je kvadrát normy

$f(\mathbf{\text{𝐡}})=\mathbf{\text{𝐡}}\cdot \mathbf{\text{𝐡}}=h_1^2+h_2^2+\mathrm{...}+h_n^2=||\mathbf{\text{𝐡}}|{|}^2$

Kvadratickou formu $f:{ℝ}^d\to ℝ$ můžeme v souřadnicích rozepsat jako

$f(𝐡)=\sum _{i,j=1}^d{a}_{ij}{h}_i{h}_j,$

kde $a_{ij}$ jsou prvky čtvercové symetrické matice řádu $d$.

Druhy kvadratických forem

Kvadratická forma $f:Y\to ℝ$ na reálném vektorovém prostoru $Y$ se nazývá

1. pozitivně definitní, jestliže $\mathrm{\forall }\mathbf{\text{𝐡}}\in Y,\mathbf{\text{𝐡}}\ne \mathbf{\text{𝟎}}$ platí $f(\mathbf{\text{𝐡}})>0$
2. pozitivně semidefinitní, jestliže $\mathrm{\forall }\mathbf{\text{𝐡}}\in Y$ platí $f(\mathbf{\text{𝐡}})\ge 0$
3. negativně definitní, jestliže $\mathrm{\forall }\mathbf{\text{𝐡}}\in Y,\mathbf{\text{𝐡}}\ne \mathbf{\text{𝟎}}$ platí $f(\mathbf{\text{𝐡}})<0$
4. negativně semidefinitní, jestliže $\mathrm{\forall }\mathbf{\text{𝐡}}\in Y$ platí $f(\mathbf{\text{𝐡}})\le 0$
5. indefinitní, jestliže $\mathrm{\exists }{𝐡}_{\mathrm{𝟏}},{𝐡}_{\mathrm{𝟐}}\in Y$ taková, že $f({𝐡}_{\mathrm{𝟏}})>0$ a $f({𝐡}_{\mathrm{𝟐}})<0$.

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Bilineární forma
• Binární kvadratická forma
• Lineární forma
• Lineární zobrazení
• Multilineární forma

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat