Komplexně sdružené číslo

grafické znázornění kompl. sdružených čísel

V matematice se pojmem sdružené číslo komplexního čísla $z=a+bi=r{e}^{i\varphi }$ (kde $a$, $b$ a $\varphi$ jsou reálná čísla, $r$ nezáporné) nazývá číslo $\bar{z}=a-bi=r{e}^{-i\varphi }$. Vznikne tedy změnou znaménka imaginární části. Většinou se označuje tak jako v předchozím příkladě, tedy přidáním pruhu nad původní číslo a často také pomocí hvězdičky, například:
$\overline{3-2i}=(3-2i{)}^{*}=3+2i$
$\bar{i}=i^{*}=-i$
$\bar{7}=7^{*}=7$

Geometricky je sdružené číslo obrazem daného komplexního v osové souměrnosti podle reálné osy v Gaussově rovině.

Vlastnosti

Následující vlastnosti platí pro všechna komplexní čísla z a w, není-li uvedeno jinak.

$\bar{z}=\bar{w}$, právě tehdy když $z=w$

$\overline{(\stackrel{‾}{z})}=z$

$\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$

$\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$

$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}$ pro w nenulové

$\bar{z}=z$ právě když je z reálné číslo

$\left|\bar{z}\right|=\left|z\right|$

${\left|z\right|}^2=z\bar{z}$

$z^{-1}=\frac{\bar{z}}{{\left|z\right|}^2}$ pro z nenulové

První čtyři vlastnosti znamenají, že unární operace sdružení je involutorní automorfismus tělesa komplexních čísel.

Komplexní sdružení matice

Komplexním sdružením matice je formálně značeno takto

$\bar{\cdot }:M_{n\times m}(ℂ)\to M_{n\times m}(ℂ)$

takže dle dané matice $A$

$A=(a_{ij})\mapsto \bar{A}=(\overline{a_{ij}})$.

Příklad

$A=\left[\begin{array}{ccc}2+3i& 1-2i& -1+2i\\ 0& -2& 3+2i\\ -i& 2-i& 2+i\end{array}\right]\mapsto \bar{A}=\left[\begin{array}{ccc}2-3i& 1+2i& -1-2i\\ 0& -2& 3-2i\\ i& 2+i& 2-i\end{array}\right]$

Odkazy

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat

Související články

• Komplexní číslo
• Matice
• Hermitovské sdružení