Inverzní normální rozdělení

Graf hustoty inverzního normální rozdělení s různým parametrem λ

Inverzní normální rozdělení (také Inverzní Gaussovo rozdělení, Waldovo rozdělení) je jedním z rozdělení pravděpodobnosti v teorii pravděpodobnosti. Patří mezi rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny a funkce jeho hustoty je:

$f(x;\mu ,\lambda )={\left[\frac{\lambda }{2\pi x^3}\right]}^{1/2}\exp \left\{\frac{-\lambda (x-\mu {)}^2}{2{\mu }^{2}x}\right\}$,

kde $\mu >0$ a $\lambda >0$ jsou parametry rozdělení a rovněž platí $x\in (0,\mathrm{\infty })$, tedy nosičem funkce hustoty jsou kladná reálná čísla.

Pro vyjádření, že náhodná veličina $X$ má inverzní Gaussovo rozdělení, je používáno značení $X\sim \mathrm{IG}(\mu ,\lambda )$.

Rozdělením se poprvé zabýval v roce 1915 rakouský fyzik Erwin Schrödinger v souvislosti se zkoumáním Brownova pohybu. Americký matematik Abraham Wald jej znovuobjevil při zkoumání náhodných posloupností.

Vlastnosti

• Střední hodnota rozdělení je $\mathrm{E}(X)=\mu$.
• Rozptyl rozdělení je $\mathrm{Var}(X)=\frac{{\mu }^3}{\lambda }$.
• Směrodatná odchylka rozdělení je $\sigma =\sqrt{\frac{{\mu }^3}{\lambda }}$.
• Koeficient šikmosti rozdělení je $\mathrm{v}(X)=3\sqrt{\frac{\mu }{\lambda }}$.
• Koeficient špičatosti rozdělení je ${\gamma }_2={\beta }_2-3=\frac{15\mu }{\lambda }$
• Charakteristická funkce rozdělení je ${\varphi }_X(s)=e^{\frac{\lambda }{\mu }(1-\sqrt{1-\frac{2{\mu }^{2}is}{\lambda }})}$.
• Momentová vytvořující funkce rozdělení je $m_X(s)=e^{\frac{\lambda }{\mu }(1-\sqrt{1-\frac{2{\mu }^{2}s}{\lambda }})}$.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace kvalifikační práce