Centrální moment

Centrální moment je pojem z matematické statistiky. Pro přirozené číslo $k$ je k-tý centrální moment jisté reálné číslo charakterizující rozdělení náhodné veličiny. K-tý centrální moment se označuje ${\mu }_k$.

Definice

K-tý centrální moment náhodné veličiny $X$ je definován vzorcem

${\mu }_k=\mathrm{E}[(X-\mu {)}^k]$,

kde $\mu$ je střední hodnota dané veličiny (pokud má vzorec smysl).

Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát

${\mu }_k=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x_i-\mu {)}^k{p}_i$,

kde $p_i$ je pravděpodobnost, že $X$ nabývá hodnoty $x_i$.

Pro spojité náhodné veličiny na reálných číslech lze psát

${\mu }_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^{k}f(x)\mathrm{d}x$,

kde $f(x)$ je hustota rozdělení dané veličiny.

Označení centrálních momentů

První centrální moment je vždy roven 0.

Druhý centrální moment se nazývá rozptyl a označuje se symbolem ${\sigma }^2$ nebo $\mathrm{var}X$.

Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice šikmosti a špičatosti.

Vlastnosti

Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.

${\mu }_k(X+c)={\mu }_k(X)$

Pro násobení konstantou platí

${\mu }_k\left(cX\right)=c^k{\mu }_k(X)$

Pro $k\le 3$ a nezávislé náhodné veličiny $X,Y$ platí

${\mu }_k(X+Y)={\mu }_k(X)+{\mu }_k(Y)$

Mezi centrálními momenty a obecnými momenty je vztah

${\mu }_k=\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})(-1{)}^{k-i}{\mu }^{k-i}{\mu }_i^{\prime }$,

kde $\mu$ je střední hodnota a ${\mu }_i^{\prime }$ je i-tý obecný moment.

Výběrový centrální moment

Výběrový centrální moment je definován vzorcem

$m_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^k$

Výběrový centrální moment je nevyvážený odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:

$\begin{array}{cc}{M}_2& =\frac{n}{n-1}{k}_2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2\\ M_3& =\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}{m}_3\\ M_4& =\frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}(n+1)m_4-3(n-1)m_2^2\\ \end{array}$