Antisymetrická relace

Příklad slabě antisymetrické relace

Binární relace $R$ na množině $M$, ve které vztah $aRb$ a zároveň $bRa$ (neboli $(a,b)\in R\wedge (b,a)\in R$) neplatí

• pro žádné $a\ne b$, se nazývá antisymetrická nebo též slabě antisymetrická.
• pro vůbec žádné $a,b$, se nazývá silně antisymetrická nebo též asymetrická.

„Silně antisymetrická“ tedy znamená „slabě antisymetrická a zároveň ireflexivní“. Slovo „slabě“ se vynechává tam, kde nehrozí nedorozumění: u ireflexivních relací, kde pojem silné a slabé antisymetrie značí totéž, nebo naopak u reflexivních relací, které nikdy nemohou být silně antisymetrické (s výjimkou prázdné relace na prázdné množině).

Např. na přirozených číslech

• Relace $|a-b|<=1$, tj. „čísla jsou si rovna nebo spolu sousedí“ není ani slabě antisymetrická, neboť do této relace patří jak dvojice $(1,2)$, tak $(2,1)$. Jinými slovy, čísla $a$ a $b$ jsou spolu v relaci „obousměrně“.
• Běžná neostrá nerovnost $a\le b$ je slabě antisymetrická: pokud např. $3\le 5$, nemůže zároveň platit $5\le 3$. Ovšem není silně antisymetrická, protože je reflexívní: $3\le 3$.
• Běžná ostrá nerovnost $a<b$ je příkladem silně antisymetrické relace.

Typickým příkladem antisymetrických relací jsou

• Neostrá částečná uspořádání neboli reflexivní antisymetrické a tranzitivní binární relace.
• Ostrá částečná uspořádání neboli ireflexivní antisymetrické a tranzitivní binární relace.

Slabá antisymetrie není opakem symetrie $(a𝐑b\Rightarrow b𝐑a)$. Existují relace, které jsou jak symetrické, tak slabě antisymetrické (rovnost), existují i relace, které nejsou ani symetrické, ani slabě antisymetrické (dělitelnost v okruhu celých čísel), existují relace, které jsou symetrické, ale nejsou slabě antisymetrické (dělení modulo p, kde p je prvočíslo), a existují relace, které nejsou symetrické, ale jsou slabě antisymetrické („je menší nebo rovno“).

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie