Eukleidova věta o výšce

Jako Eukleidovy věty se označují matematické věty o délkách odvěsen a výšky pravoúhlého trojúhelníku. Jsou pojmenované po svém objeviteli, řeckém matematiku Eukleidovi. Jsou to:

Eukleidova věta o výšce: $v_{c}^{2} = c_{a} \cdot c_{b}$
Eukleidova věta o odvěsně (pro odvěsnu a): $a^{2} = c \cdot c_{a}$
Eukleidova věta o odvěsně (pro odvěsnu b): $b^{2} = c \cdot c_{b}$

Pomocí Eukleidových vět je taky možné dokázat Pythagorovu větu a naopak pomocí Pythagorovy věty lze dokázat Eukleidovy věty.

Eukleidova věta o výšce

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony.

$v_{c}^{2} = c_{a} \cdot c_{b}$

Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníků

Označíme-li P patu kolmice z bodu C na přeponu AB (viz označení na obrázku), z podobnosti trojúhelníků APC a CPB plyne:

$\frac{v_{c}}{c_{a}} = \frac{c_{b}}{v_{c}}$

Obě strany rovnice vynásobíme číslem $v_{c} \cdot c_{a}$ a dostaneme Eukleidovu větu:

$v_{c}^{2} = c_{a} \cdot c_{b}$

Důkaz z Pythagorovy věty

Z Pythagorovy věty plyne:

$v_{c}^{2} = b^{2} - c_{b}^{2}$

$v_{c}^{2} = a^{2} - c_{a}^{2}$

Rovnice sečteme:

$2 v_{c}^{2} = a^{2} + b^{2} - c_{a}^{2} - c_{b}^{2}$

Upravíme první 2 členy podle Pythagorovy věty:

$2 v_{c}^{2} = c^{2} - c_{a}^{2} - c_{b}^{2}$

Dosadíme $c = c_{a} + c_{b}$ :

$2 v_{c}^{2} = (c_{a} + c_{b})^{2} - c_{a}^{2} - c_{b}^{2}$

Roznásobíme, odečteme a vydělíme dvěma:

$2 v_{c}^{2} = c_{a}^{2} + 2 c_{a} c_{b} + c_{b}^{2} - c_{a}^{2} - c_{b}^{2}$

$2 v_{c}^{2} = 2 c_{a} c_{b}$

$v_{c}^{2} = c_{a} c_{b}$

Důkaz pomocí obsahů

V pravoúhlém trojúhelníku ABC sestrojíme růžový čtverec nad výškou v a obdélník se stranami c_a a c_b. Doplníme obrázek do velkého pravoúhlého trojúhelníku. Velký trojúhelník je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu $v^{2}$ je ve druhém rozkladu nahrazen obdélníkem o obsahu $c_{a} \cdot c_{b}$ . Odtud růžové objekty musí mít stejný obsah.

Eukleidova věta o odvěsně

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

$a^{2} = c \cdot c_{a}$

$b^{2} = c \cdot c_{b}$

Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníků

Z podobnosti trojúhelníků ACB a CPB plyne:

$\frac{a}{c_{a}} = \frac{c}{a}$

Obě strany rovnice vynásobíme $a \cdot c_{a}$ a dostaneme Eukleidovu větu:

$a^{2} = c \cdot c_{a}$

Pro důkaz Euklidovy věty pro druhou odvěsnu bychom jen zaměnili body A a B, odvěsny a a b a části přepony c_a a c_b.

Důkaz z Pythagorovy věty

Vycházíme z toho, že platí Euklidova věta o výšce (důkaz viz výše). Z Pythagorovy věty plyne:

$a^{2} = v_{c}^{2} + c_{a}^{2}$

$a^{2} = c_{a} c_{b} + c_{a}^{2}$

$a^{2} = (c_{a} + c_{b}) c_{a}$

$a^{2} = c c_{a}$

Pro druhou odvěsnu plyne z principu záměny (symetrie) odvěsen.

Tento důkaz nelze použít, pokud máme zároveň z Eukleidovy věty dokazovat Pythagorovu větu, protože se jednalo o důkaz kruhem. V takovém případě je nutné použít jiný důkaz Eukleidovy věty.

Důkaz pomocí obsahů

Pro zelený pravoúhlý trojúhelník ABC sestrojíme růžový čtverec nad odvěsnou b = AC a obdélník se stranami c a c_b. Doplníme obrázek šedými pomocnými trojúhelníky. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu $b^{2}$ je nahrazen obdélníkem o obsahu $c \cdot c_{b}$ .

Délka výšky

Na základě znalosti Eukleidových vět a daných délek stran a a b lze vypočítat délku výšky:

$v^{2} = \frac{a^{2} \cdot b^{2}}{c^{2}} = \frac{a^{2} \cdot b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$

$v = \sqrt{\frac{a^{2} \cdot b^{2}}{a^{2} + b^{2}}} = \frac{a \cdot b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Příklad

Mějme pravoúhlý trojúhelník se stranami $a = 5, c = 8$ (v libovolných, ale shodných jednotkách). Vypočítejte výšku $v_{c}$ .

Platí:

$v_{c}^{2} = c_{a} \cdot c_{b}$

$a^{2} = c \cdot c_{a}$

Po dosazení do druhého vzorce:

$25 = 8 \cdot c_{a}$

$c_{a} = 25 : 8$

$c_{a} = 3, 125$

Dopočet $c_{b}$ :

$c_{b} = c - c_{a}$

$c_{b} = 4, 875$

Po dosazení do prvního vzorce:

$v_{c}^{2} = c_{a} \cdot c_{b}$

$v_{c}^{2} = 3, 125 \cdot 4, 875$

$v_{c}^{2} ≐ 15, 23$

$v_{c} ≐ 3, 9$

Výška tohoto trojúhelníku je přibližně 3,9.

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Šablona:Commonscat

Pythagorova věta

Šablona:Autoritní data

Eukleidova věta o výšce

Eukleidova věta o výšce

Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníků

Důkaz z Pythagorovy věty

Důkaz pomocí obsahů

Eukleidova věta o odvěsně

Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníků

Důkaz z Pythagorovy věty

Důkaz pomocí obsahů

Délka výšky

Příklad

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Navigační menu

Hledat