Ortonormalita

V lineární algebře, dva vektory v a w v prostoru s definovaným skalárním součinem jsou ortonormální, pokud jsou ortogonální a mají jednotkovou délku, tedy platí:

$⟨v|w⟩=0$ a zároveň $\Vert v\Vert =\Vert w\Vert =1$.

Báze, kde jsou všechny vektory navzájem ortonormální se nazývá ortonormální báze. Dá se najít například Gram-Schmidtovou ortogonalizací – nově vytvořený ortogonální vektor vydělíme jeho normou, čímž se změní pouze jeho délka, ne však směr.

Pokud je $Z=(v_1,\dots ,v_n)$ ortonormální bází vektorového prostoru $𝒱$, potom:

• $\mathrm{\forall }u\in 𝒱:u=\sum _{i=1}^n⟨u|v_i⟩v_i$. (koeficientům se někdy říká Fourierovy – souvislost s diskrétní Fourierovou transformací)
• $\mathrm{\forall }u,w\in 𝒱:⟨u|w⟩=[w{]}_Z^{\mathrm{H}}[u{]}_Z$ (Parsevalova rovnost).

Nejpoužívanější ortonormální bázi (někdy se označuje jako kanonická) používá kartézská soustava souřadnic – je tvořená vektory $(1,0,\dots ,0),(0,1,0,\dots ,0),\dots ,(0,\dots ,0,1)$.

Související články

• Ortogonalita