Loxodroma

Příklad loxodromy na povrchu Země

Loxodroma je křivka na referenční ploše (např. na sférickém povrchu Země), která protíná všechny poledníky pod stejným úhlem.

V úhlojevných mapách Země v Mercatorově zobrazení mají loxodromy charakter přímek. Mapu světa, sestrojenou v tomto zobrazení, uveřejnil v roce 1569 Gerhard Mercator (1512–1594). Název „loxodroma“ pochází od nizozemského učence Willebrorda Snellia (1581–1626).

Přestože loxodroma není nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše, byly loxodromické cesty v minulosti využívány při námořní plavbě. Pro svou jednoduchost jsou loxodromické cesty používány i dnes v námořní a v letecké navigaci. Loxodromická cesta se shoduje s ortodromickou pouze ve směru po polednících a ve směru po rovníku. V tom případě je loxodroma nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše. Do vzdálenosti 800–1000 km je rozdíl mezi loxodromou a ortodromou zanedbatelný.

V dnešní době díky rozvoji moderní navigační techniky (GPS apod.) význam loxodromy klesá.

Matematický popis

Budeme uvažovat dva body na sféře poloměru $R$, jejichž poloha je udána ve sférických souřadnicích. Našim cílem bude najít azimut loxodromy (ten je dle definice pro celou křivku stejný) a délku této křivky. Sférické souřadnice označme $\vartheta$ a $\phi$, přičemž první z nich je zeměpisná šířka, druhá délka. Rovníku tedy odpovídá $\vartheta =0$.

Odvození azimutu

Je zřejmé, že délka malého elementu ve směru jih-sever je $R\mathrm{d}\vartheta$, zatím co ve směru západ-východ $R\cos \vartheta \mathrm{d}\phi$. Azimut (úhel vůči severu) $\alpha$ je pak tedy dán takto:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{R\cos \vartheta \mathrm{d}\phi }{R\mathrm{d}\vartheta }$

Tento vztah upravíme na tvar vhodný k integraci

$\mathrm{d}\phi =\frac{\mathrm{tg}\alpha }{\cos \vartheta }\mathrm{d}\vartheta$.

Přitom dle definice loxodromy je $\alpha$ konstantní. Integrováním od ${\vartheta }_1$ do ${\vartheta }_2$ získáme změnu $\phi$ mezi těmito body. Přitom předpokládáme, že ${\vartheta }_1\ne {\vartheta }_2$.

${\phi }_2-{\phi }_1=\mathrm{tg}\alpha (\mathrm{arctgh}\sin {\vartheta }_2-\mathrm{arctgh}\sin {\vartheta }_1)$

Byl tedy získán vztah pro azimut loxodromy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{\mathrm{arctgh}\sin {\vartheta }_2-\mathrm{arctgh}\sin {\vartheta }_1}$

Poznamenejme, že transformační vztahy pro Mercatorovo zobrazení jsou:

$x=R\phi$

$y=R\mathrm{arctgh}\sin \vartheta$

Spojíme-li na mapě dva body pravítkem, pak zřejmě jejich spojnice má na mapě azimut

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$,

což je přesně stejná hodnota, jaká byla odvozena předchozím výpočtem. Loxodromy jsou tedy opravdu na mapách s touto projekcí přímky. Můžeme uvažovat i obráceně a předchozí výpočet považovat za odvození Mercatorovy projekce, tedy projekce, kde jsou loxodromy přímky.

Délka loxodromy

Nyní ještě určíme její délku. Vyjdeme přitom z Pythagorovy věty, kterou určíme délku výsledného elementu dráhy, když došlo k pohybu jak ve směru jih-sever, tak západ-východ.

$\mathrm{d}s=R\sqrt{\mathrm{d}{\vartheta }^2+{\cos }^2\vartheta \mathrm{d}{\phi }^2}$

Dosadíme-li za $\cos \vartheta \mathrm{d}\phi$ z předem odvozeného vztahu pro azimut, dostaneme:

$\mathrm{d}s=R\sqrt{\mathrm{d}{\vartheta }^2+{\tan }^2\alpha \mathrm{d}{\vartheta }^2}=R\frac{|\mathrm{d}\vartheta |}{|\cos \alpha |}$

Integrace je tedy triviální. Délka loxodromy je

$s=R\frac{|{\vartheta }_2-{\vartheta }_1|}{|\cos \alpha |}$,

kde za azimut $\alpha$ dosadíme z předem odvozeného vztahu

Odkazy

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Loxodroma na gis.zcu.cz