Lorenzův atraktor

Graf trajektorie Lorenzova systému ve stavovém prostoru pro hodnoty $r=28,\sigma =10,b=8/3$

Lorenzův atraktor

Lorenzův atraktor, zavedený Edwardem Lorenzem v roce 1963, je nelineární trojdimenzionální deterministický dynamický systém odvozený ze zjednodušených rovnic vynucené konvekce v atmosféře. Pro jistou množinu parametrů systém vykazuje chaotické chování a zobrazuje to, co se dnes nazývá podivný atraktor; to bylo dokázáno W. Tuckerem v roce 2001. Podivný atraktor v tomto případě je fraktál s Hausdorffovou dimenzí mezi 2 a 3. Grassberger (1983) odhadl Hausdorffovu dimenzi na $2,06\pm 0,01$ a korelační dimenzi na $2,05\pm 0,01$.

Systém vzniká v laserech, dynamech, a specifických vodních kolech[1].

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\sigma (y-x)$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=x(r-z)-y$

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=xy-bz$

kde $\sigma$ je Prandtlovo číslo a $r$ je Rayleighovo číslo (redukované). $\sigma ,r,b>0$, ale obvykle $\sigma =10$, $b=8/3$ a $r$ se mění. Systém vykazuje chaotické chování pro $r=28$, ale zobrazuje zamotané periodické orbity pro další hodnoty $r$. Například pro $r=99,96$ vzniká $T(3,2)$ prstencové klubko.

Reference

• Lorenz, E, N., Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci., 1963, 20, 130-141
• Frøyland, J., Alfsen, K. H., Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model, Phys. Rev. A, 1984, 29, 2928–2931
• Strogatz, Steven H., Nonlinear Systems and Chaos, Perseus publishing, 1994
• Jonas Bergman, Knots in the Lorentz system, Undergraduate thesis, Uppsala University 2004
• P. Grassberger and I. Procaccia, Measuring the strangeness of strange attractors, Physica D, 1983, 9 189-208 (odkaz)
• J. Horák, L. Krlín, A. Raidl, Deterministický chaos a jeho fyzikální aplikace, Academia, Praha 2003

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Lorenz Attractor
• planetmath.org: Lorenz Equation Šablona:Wayback
• Levitated.net: computational art and design
• Animated Lorenz strange attractor
• Generátor Lorenzova atraktoru
• Náhoda v exaktní vědě (z archivu)