Snellův zákon

Snellův zákon patří k základním zákonům popisujícím šíření vlnění, které přechází (tzv. lomem) přes rozhraní z jednoho prostředí do jiného prostředí, kde se skokově mění optické vlastnosti prostředí. Např. voda – vzduch, sklo – vzduch.

Je důležitou součástí geometrické optiky, kde popisuje lom paprsku světla a obecněji elektromagnetického záření na rovinném rozhraní.

Zákon v 10. století objevil arabský matematik Ibn Sahl. Nese jméno jeho znovuobjevitele, nizozemského matematika Willebrorda Snellia.

Zjednodušenou formulací, dobře odpovídající realitě, je populární rčení "Hůl do vody ponořená, zdá se býti zalomená".

Formulace zákona

Snellův zákon

Uvažujme dvě různá prostředí, jejichž rozhraní je rovinné. Jsou-li indexy lomu těchto dvou prostředí n₁ resp. n₂ a označíme-li úhly dopadajícího resp. lomeného svazku α₁ resp. α₂ (měřeno ke kolmici rozhraní), pak podle Snellova zákona platí

$n_1\sin {\alpha }_1=n_2\sin {\alpha }_2$,

nebo také v jiném tvaru (v₁ a v₂ jsou rychlosti šíření vlnění v daném prostředí)

$\frac{\sin {\alpha }_1}{\sin {\alpha }_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}$.

Úhly se vždy měří od normály, tj. při kolmém dopadu je ${\alpha }_1={\alpha }_2=0$. Paprsky se šíří vždy přímočaře.

Odvození

Lom rovinného vlnění na rovinné ploše.

Lom světla.

Odvození Snellova zákona lze provést pomocí dopadu rovinné vlny na rovinné rozhraní dvou prostředí.

V místě dopadajícího paprsku vlnění vztyčíme kolmici, tzv. kolmici dopadu (obecně jde o normálu k ploše rozhraní). Úhel mezi kolmicí dopadu a dopadajícím paprskem se nazývá úhel dopadu. Rovina, která je určena kolmicí dopadu a paprskem dopadajícího vlnění, se nazývá rovina dopadu.

Z obrázku je vidět, že vlnění, které dopadá z prostředí 1 na rozhraní s prostředím 2 pod úhlem dopadu ${\alpha }_1$, dospěje nejdříve do bodu $A$ a postupně do dalších bodů až po bod $C$. Tyto body se podle Huygensova principu stávají zdroji elementárních vlnění, které se šíří do prostředí 2. Dochází k lomu vlnění. Vlnění, které se v prostředí 1 šířilo fázovou rychlostí $v_1$, se bude v prostředí 2 šířit fázovou rychlostí $v_2$, která je obecně různá od rychlosti $v_1$ a závisí na vlastnostech prostředí, v němž se vlnění šíří. Čelo dopadající rovinné vlny (tedy vlnoplocha) je představováno úsečkou $AB$, čelo lomené vlny je představováno úsečkou $CD$. Pro poměr sinů úhlu dopadu ${\alpha }_1$ a lomu ${\alpha }_2$ platí podle obrázku vztah

$\frac{\sin {\alpha }_1}{\sin {\alpha }_2}=\frac{\frac{|BC|}{|AC|}}{\frac{|AD|}{|AC|}}=\frac{|BC|}{|AD|}=\frac{v_{1}t}{v_{2}t}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}=n_{21}$,

kde $|...|$ označuje délku úsečky, $v_1$ a $v_2$ jsou fázové rychlosti vlnění v prostředí 1 a 2, $v_{1}t$ je vzdálenost, kterou vlnění urazí v prostředí 1 za čas $t$ a $v_{2}t$ je vzdálenost, kterou vlnění urazí za čas $t$ v prostředí 2, $n_1$ a $n_2$ jsou absolutní indexy lomu v prostředí 1 a 2 a $n_{21}$ je relativní index lomu.

Úhel ${\alpha }_2$ se nazývá úhel lomu. Rovina určená kolmicí dopadu a lomeným paprskem se nazývá rovina lomu. Podle Huygensova principu splývá rovina lomu s rovinou dopadu.

Slovně lze Snellův zákon formulovat takto:

Poměr sinů úhlu dopadu a lomu je pro určitá dvě prostředí stálý a rovný poměru velikosti rychlosti vlnění v jednotlivých prostředích.

Snellův zákon platí nejen pro rovinné vlnění, ale v obecném případě pro libovolné vlnění dopadající na rozhraní libovolného tvaru.

Důsledky

Ze Snellova zákona plyne, vyjádřeno slovy, že:

• Při šíření záření z prostředí opticky řidšího do opticky hustšího prostředí se paprsky lámou směrem ke kolmici (tzv. lom ke kolmici).
• Při šíření záření z prostředí opticky hustšího do opticky řidšího prostředí se paprsky lámou směrem od kolmice (tzv. lom od kolmice).

Opticky hustším, resp. řidším prostředím je míněno prostředí s vyšším, resp. nižším indexem lomu.

• Pokud fázová rychlost závisí na frekvenci vlnění (viz disperze (vlnění)), pak pro složené vlnění dochází při lomu k závislosti úhlu lomu na frekvenci. To se projevuje např. v optice rozkladem světla na jednotlivé barevné složky (v přírodě se tento jev projevuje např. vznikem duhy).

Totální odraz

Šíří-li se paprsky z opticky hustšího prostředí (tedy v případě lomu od kolmice) může nastat, že úhel lomu je roven pravému úhlu, tzn. ${\alpha }_2=\frac{\pi }{2}$. V takovém případě je $\sin {\alpha }_2=1$, a zákon lomu má tvar

$\sin {\alpha }_{\mathrm{m}}=\sin {\alpha }_1=\frac{v_1}{v_2}$,

kde ${\alpha }_{\mathrm{m}}$ označuje tzv. mezní úhel. Mezní úhel je největší úhel dopadu, při kterém ještě nastává lom vlnění. Je-li úhel dopadu větší než mezní úhel, tzn. ${\alpha }_1>{\alpha }_{\mathrm{m}}$, dochází k tzv. totálnímu (úplnému) odrazu, při kterém se vlnění do druhého prostředí vůbec nedostane a odráží se zpět do prostředí původního.

Hodnotu mezního úhlu lze určit ze vztahu

${\alpha }_{\mathrm{m}}=\arcsin \left(\frac{n_2}{n_1}\right)$

Odkazy

Související články

• Brewsterův úhel
• Disperze vlnění
• Disperze světla
• Evanescentní vlna
• Huygensův princip
• Lom vlnění
• Fresnelovy rovnice

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• en: Animace Snellova zákona
• cz: Animace Snellova zákona

• Fuka, Havelka: Optika Šablona:Wayback
• Havelka: Geometrická optika I Šablona:Wayback
• Vlnové vlastnosti světla: http://www.sweb.cz/radek.jandora/f19.htm Šablona:Wayback