Měščerského rovnice

Měščerského rovnice popisuje pohyb soustavy s proměnnou hmotností ve vnějším silovém poli. Samotná rovnice je jistým zobecněním Ciolkovského rovnice a je pojmenována po svém objeviteli Ivanu Vševolodičovi Měščerském.

Jde o diferenciální rovnici běžně uváděnou ve tvaru

$m\frac{\mathrm{d}𝐯}{\mathrm{d}t}={𝐅}_E-𝐮\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$

kde $m$ je hmotnost, $\frac{\mathrm{d}𝐯}{\mathrm{d}t}$ zrychlení, ${𝐅}_E$ výslednice vnějších sil (typicky sil tíhové a odporové), $𝐮$ je rychlost, s níž jsou přijímány či vypuzovány části hmoty a $\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$ je změna hmotnosti tělesa za čas.

Odvození

Rovnice lze odvodit ze zákonu zachování hybnosti.

V čase $t$ má těleso o hmotnosti $m$ a rychlosti $𝐯$ hybnost ${𝐩}_r=m𝐯$. Za nějaký malý interval $\mathrm{d}t$ se hmotnost tělesa změní o $\mathrm{d}m$. Rychlost této hmoty vůči tělesu v inerciální vztažné soustavě je rovna $𝐯-𝐮$. Raketa sama je o tuto hmotnost $\mathrm{d}m$ lehčí. Zároveň se rychlost rakety zvýší o $\mathrm{d}𝐯$ díky 3. Newtonovu pohybovému zákonu. Označme tedy ${𝐩}_r$ hybnost rakety v čase $t$ a ${𝐩}_r$ hybnost v čase $t+\mathrm{d}t$. Pak můžeme psát ${𝐩}_r=m𝐯$

${{𝐩}_r}^{\prime }=(m-\mathrm{d}m)(𝐯+\mathrm{d}𝐯)+\mathrm{d}m(𝐯-𝐮).$

Pozn. při roznásobování lze u ${{𝐩}_r}^{\prime }$ diferenciální člen 2. řádu $\mathrm{d}m\mathrm{d}𝐯$ zanedbat, jeho vliv je oproti zbylým členům malý.

Díky 2. Newtonovu zákonu víme, že změna hybnosti za čas je rovna součtu externích sil, tj. $\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}={𝐅}_E$. Změnu hybnosti zde můžeme zapsat jako

$\mathrm{d}𝐩={{𝐩}_r}^{\prime }-{𝐩}_r$

Z čehož získáváme výslednou Měščerského rovnici.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie

• Šablona:Citace monografie