Vícerozměrný integrál

Vícerozměrný integrál je a určitý integrál reálné funkce více proměnných na dané množině. Zapisuje se $\int \cdots \underset{𝐌}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_n$, kde funkce $f(x_1,x_2,\dots ,x_n):{ℝ}^n\to ℝ$ se nazývá integrand a $𝐌\subset ℝ$ je daná vhodná množina. Tento zápis se často zkracuje na $\underset{𝐌}{\int }f(𝐱)d^n𝐱.$

Vícerozměrný integrál je různý pojem od vícenásobný integrál, tedy od postupné integrace po složkách, neboť vícenásobné integrály mohou existovat i pro neintegrovatelné funkce.Šablona:Poznámka

Vícerozměrný integrál se často vyčísluje pomocí Fubiniovy věty a substituce souřadnic.

Definice

Motivace

Dvojný integrál jako objem pod plochou.

Často je nutno udělat součet hodnot nějaké funkce na vícerozměrné množině. Například objem nějakého tělesa, hmotnost tělesa s nekonstantní hustotou, energii nějakého pole. Takovým součtem je právě vícerozměrný integrál.

Dvojný integrál na obdélníku

Pro $n>1$ mějme funkci $f:𝐈=⟨a_1,b_1⟩\times ⟨a_2,b_2⟩\times \cdots \times ⟨a_n,b_n⟩\subseteq {ℝ}^n\to {ℝ}^{+}$.

Rozdělíme-li každý z intervalů $⟨a_i,b_i⟩$ na konečnou množinu disjunktních podintervalů $⟨a_{i,j},b_{i,j}⟩$, získáme dělení n-rozměrného intervalu na systém intervalů ${𝐈}_j=⟨a_{1,j},b_{1,j}⟩\times ⟨a_{2,j},b_{2,j}⟩\times \cdots \times ⟨a_{n,j},b_{n,j}⟩$, pro které platí $I=I_1\cup I_2\cup \cdots \cup I_m$.

(n+1)-rozměrný objem pod n-rozměrnou plochou (grafem funkce $f$) na intervalu $I\subseteq {ℝ}^n$ můžeme aproximovat Riemannovým součtem:

$\sum _{k=1}^{m}f(X_k)\mathrm{\sigma }(I_k)$,

kdeŠablona:Mvar jje prvek intervalu Šablona:Mvar and Šablona:Math je míra intervalu Šablona:Mvar (tedy součin délek jednotlivých jednorozměrných intervalů $⟨a_i,b_i⟩$) .

Řekneme, že funkce Šablona:Mvar je Riemannovsky integrovatelná, jestliže existuje konečná limita přes všechna dělení intervalu Šablona:Mvar na podintervaly míry maximálně Šablona:Mvar:

$S=\underset{\delta \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{m}f(X_k)\mathrm{\sigma }(C_k)$.

Jestliže je Šablona:Mvar is Riemannovsky integrovatelná, tak Šablona:Mvar se nazývá (vícerozměrný) Riemannův integral funkce Šablona:Mvar na intervalu Šablona:Mvar a píše se

$\int \cdots \underset{I}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_n$.

Na měřitelné množině

Buď funkce $f$ omezená na neprázdné měřitelné množině $𝐌\subseteq {ℝ}^2$. Řekneme, že funkce $f$ je na množině $𝐌$ (Riemannovsky) integrovatelná, je-li funkce $𝐌\cdot {\chi }_{𝐌}$ definovaná předpisem $(𝐌\cdot {\chi }_{𝐌})(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\{\begin{array}{cc}f(x_1,x_2,\dots ,x_n),& \text{pro }x\in 𝐌\\ 0,& \text{pro }x\in ℝ\setminus 𝐌\end{array}$Šablona:Poznámka

integrovatelná na nějakém uzavřeném vícerozměrném intervalu $𝐉\subseteq {ℝ}^n$ takovém, že $𝐌\subseteq 𝐉$.

Vícenásobným (Riemannovým) integrálem funkce $f$ na množině $𝐌$ pak rozumíme číslo $\int \cdots \underset{𝐌}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_n=\int \cdots \underset{𝐉}{\int }(𝐌\cdot {\chi }_{𝐌})f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_n$. Šablona:Poznámka

Pro prázdnou množinu definujeme $\int \cdots \underset{\mathrm{\varnothing }}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_n=0$ pro každou funkci $f:{ℝ}^n\to ℝ$.

Speciální případy

V případě, že Šablona:Nowrap tak $\underset{M}{\iint }f(x,y)dxdy$ se nazývá dvojný integrál funkce Šablona:Mvar na Šablona:Mvar, dále pro $M\subseteq {ℝ}^3$ je $\underset{M}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$ trojný integrál funkce Šablona:Mvar na Šablona:Mvar.

Vlastnosti

Většinu vlastností má vícerozměrný integrál stejné jako jednorozměrný určitý integrál. Mezi nimi linearitu, komutativitu.

Důležitou vlastností je, že hodnota vícenásobného integrálu nezávisí na pořadí integrace. Toto je známo jako Fubiniova věta.

Podmínky integrovatelnosti

Je-li funkce $f:{ℝ}^n\to ℝ$ spojitá v uzavřeném intervalu $𝐉\subseteq {ℝ}^n$, pak existuje $\underset{M}{\iint }f(x,y)dxdy$.

Aplikace

Šablona:Podrobně Mezi aplikace vícerozměrného integrálu patří výpočet objemu, hmotnosti a umístění těžiště. Dále například výpočet energie fyzikálního pole.

Související články

• parciální derivace
• diferenciál