Uzávěr množiny

Uzávěr množiny (Šablona:Vjazyce2) je nejmenší uzavřená množina topologického prostoru, která danou množinu obsahuje. Uzávěr $M$ značíme většinou $\bar{M}$, popř. $\mathrm{c}\mathrm{l}M$.

Neformální úvod

Pojem uzavřená množina lze názorně definovat na reálných číslech nebo v Euklidovském prostoru, abstraktněji v metrických prostorech a ještě obecněji v topologickém prostoru.

Níže uvedená definice a vlastnosti platí pro každou z právě vyjmenovaných situací.

Definice

Průnik všech uzavřených množin topologického prostoru $X$, které obsahují $M$ jako svou podmnožinu, nazveme uzávěr množiny $M$, značíme $\bar{M}$.

$\bar{M}=\bigcap \{U\subseteq X:U$ je uzavřená $\wedge M\subseteq U\}$

Ekvivalentně lze definovat uzávěr množiny $M$ jako množinu $\bar{M}$ všech bodů topologického prostoru, jejichž libovolné okolí $U$ má neprázdný průnik s $M$.

$\bar{M}=\{x\in X:\mathrm{\forall }U(x)U(x)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }\}$

Vnitřní a vnější body

Uzávěr množiny $𝐀\subset 𝐌$ metrického prostoru $(𝐌,\rho )$ lze také vyjádřit s pomocí rozdílu množin jako $𝐌\mathrm{\setminus }\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(𝐌\mathrm{\setminus }\mathrm{A})$, kde $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}𝐗$ označuje vnitřek množiny $𝐗$.

Vnitřek množiny tvoří množina všech vnitřních bodů. Bod $a\in 𝐗$ označíme jako vnitřní bod množiny $𝐗\subseteq 𝐌$, pokud existuje takové $r>0$, že pro množinu $𝐁(a,r)=\{x\in 𝐌:\rho (a,x)<r\}$ platí $𝐁(a,r)\subset 𝐗$.

Pokud platí $𝐗=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}𝐗$, pak se množina $𝐗$ nazývá otevřená (v metrice $\rho$).

Pro množiny $𝐀\subset 𝐌,𝐁\subset 𝐌$ metrického prostoru $(𝐌,\rho )$ platí vztahy

• $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}𝐀\subset 𝐀$
• $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}𝐀=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}𝐀$
• $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(𝐀\cap 𝐁)=𝐀\cap 𝐁$
• $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(𝐀\cup 𝐁)\subset 𝐀\cup 𝐁$
• pokud $𝐀\subset 𝐁$, pak platí také $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}𝐀\subset \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}𝐁$
• každá otevřená podmnožina množiny $𝐀$ je podmnožinou $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}𝐀$
• množinu $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}𝐀$ získáme jako sjednocení všech otevřených podmnožin množiny $𝐀$.

Je-li $𝐀\subset 𝐌$ částí metrického prostoru $(𝐌,\rho )$, pak vnitřek množiny $𝐌\mathrm{\setminus }𝐀$ nazveme vnějškem množiny $𝐀$. Body nacházející se ve vnějšku $𝐀$ nazýváme vnějšími body množiny $𝐀$.

Pokud existuje takové okolí $𝐔$ bodu $a\in 𝐀$, že $𝐔\cap 𝐀=\{a\}$, pak bod a nazýváme izolovaným bodem.

Jestliže každé okolí bodu $x\in 𝐌$ obsahuje prvek množiny $𝐀\subseteq 𝐌$ různý od x, pak bod x se nazývá hromadným bodem množiny $𝐀$.

Bod uzávěru je hromadným bodem množiny $𝐀$ (pokud se nejedná o izolovaný bod).

Vlastnosti uzávěru

• Z toho, že průnik libovolného počtu uzavřených množin je uzavřená množina, je i uzávěr množiny uzavřená množina. Naopak platí, že množina je uzavřená pravě tehdy, když je rovna svému uzávěru, tzn. $\overline{𝐌}=𝐌$.

• Uzávěr prázdné množiny je prázdná množina.

• Uzávěr celého $X$ je $X$, tzn. $\bar{X}=X$.
• Pro $𝐀\subseteq 𝐗,𝐁\subseteq 𝐗$ platí
  • $𝐀\subseteq \overline{𝐀}$
  • $\overline{\stackrel{‾}{𝐀}}=\overline{𝐀}$
  • $\overline{(𝐀\cap 𝐁)}\subseteq \overline{𝐀}\cap \overline{𝐁}$ (Ale pozor: obrácená inkluze obecně neplatí! Zvažme například situaci $X=ℝ,𝐀=[0,1)$ a $𝐁=[1,2]$.)
  • $\overline{(𝐀\cup 𝐁)}=\overline{𝐀}\cup \overline{𝐁}$
  • pokud $𝐀\subseteq 𝐁$, pak $\overline{𝐀}\subseteq \overline{𝐁}$
  • je-li $𝐀$ je podmnožinou uzavřené množiny $𝐁$, pak $\overline{𝐀}\subseteq 𝐁$

Související články

• Vnitřek množiny
• Otevřená množina