Frobeniova matice

Šablona:Možná hledáte Frobeniova matice je v numerické matematice speciální druh čtvercové matice, která splňuje následující tři vlastnosti:

• všechny položky na hlavní diagonále jsou jedničky
• položky v jednom libovolném sloupci pod hlavní diagonálou jsou libovolné
• všechny ostatní položky jsou nulové

Frobeniova matice tady vypadá takto:

$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{32}& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& a_{n2}& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$

Frobeniovy matice jsou pojmenované po Ferdinandu Georgu Frobeniovi. Někdy se také nazývají Gaussovy transformace po Carlu Friedrichu Gaussovi.Šablona:Sfn Frobeniovy matice se používají při Gaussově eliminační metodě pro reprezentaci gaussovských transformací.

Násobení libovolné matice zleva (levé násobení) Frobeniovou maticí odpovídá přičtení určité lineární kombinace zbývajících řádků k určitému řádku matice. Násobení inverzní maticí odpovídající lineární kombinaci od daného řádku odečte. To odpovídá jedné elementární operaci při gaussovské eliminaci (vedle transpozice řádků a násobení řádku skalárem).

Vlastnosti

Frobeniovy matice jsou invertibilní. Inverzí Frobeniovy matice je opět Frobeniova matice, která se od původní matice liší obrácenými znaménky čísel mimo hlavní diagonálu. Inverzní matice k výše uvedené matici tedy je:

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& -a_{32}& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& -a_{n2}& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$

Tento vzorec lze dokonce zobecnit na jakoukoli mocninu matice. Pro všechna $k\in \mathbb{Z}$ platí:

$A^k=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& k\cdot a_{32}& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& k\cdot a_{n2}& 0& \cdots & 1\end{array}\right)=I+k\cdot (A-I)$

Odkazy

Reference

• Šablona:Citace monografie

Související články

• Elementární matice – speciální případ Frobeniovy matice s jedinou nenulovou hodnotou mimo diagonálu