Stirlingova čísla

Šablona:Ověřit Stirlingova čísla jsou čísla hojně využívaná ve více oblastech matematiky, nejčastěji se s nimi můžeme setkat v matematické analýze, diskrétní matematice, zejména v kombinatorice. Byla pojmenována po skotském matematikovi Jamesi Stirlingovi, který je definoval v 18. století.

Stirlingova čísla dělíme na dvě kategorie:

• Stirlingova čísla prvního druhu
• Stirlingova čísla druhého druhu

Stirlingova čísla prvního druhu

Značení

Stirlingova čísla prvního druhu nejčastěji označujeme $S\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]$, dále se můžeme setkat s označením $S[n;k]$ nebo $s(n;k)$.

Definice

Stirlingova čísla prvního druhu definujeme jako „počet permutací na n-prvkové množině s k cykly“.

Tabulka hodnot

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & k\\ n& \end{array}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	2	3	1
4	0	6	11	6	1
5	0	24	50	35	10	1
6	0	120	274	225	85	15	1
7	0	720	1764	1624	735	175	21	1
8	0	5040	13068	13132	6769	1960	322	28	1
9	0	40320	109584	118124	67284	22449	4536	546	36	1

Stirlingova čísla druhého druhu

Značení

Stirlingova čísla druhého druhu nejčastěji označujeme $S\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}$, dále například $S(n,k)$.

Definice

Stirlingova čísla druhého druhu definujeme jako „počet rozkladů n-prvkové množiny na k tříd“.

Každá z těchto k tříd musí obsahovat alespoň jeden prvek.

Např. $S\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}$, neboli „počet rozkladů tří prvkové množiny na dvě třídy“ si můžeme představit následujícím způsobem.

Prvky v množině označíme jako $A;B;C$, máme tedy množinu $\{A,B,C\}$, chceme ji rozdělit na 2 množiny („třídy“).

Máme tyto možnosti:

• $\{A;B\},\{C\}$
• $\{A;C\},\{B\}$
• $\{B;C\},\{A\}$.

Rozdělení $\{A;B;C\},\{\}$ nepočítáme, protože druhá množina neobsahuje alespoň jeden prvek.

Počet možných rozkladů je 3, neboli $S\left\{\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right\}=3$.

Tabulka hodnot

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & k\\ n& \end{array}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
7	0	1	63	301	350	140	21	1
8	0	1	127	966	1701	1050	266	28	1
9	0	1	255	3025	7770	6951	2646	462	36	1