Kompaktní konvergence

V matematice se kompaktní konvergencí neboli stejnoměrnou konvergencí na kompaktních množinách rozumí určité zobecnění myšlenky stejnoměrné konvergence.

Definice

Nechť $(X,𝒯)$ je topologický prostor a $(Y,d_Y)$ je metrický prostor. O posloupnosti funkcí

$f_n:X\to Y$, $n\in \mathbb{N},$

se říká, že kompaktně konverguje k nějaké funkci $f:X\to Y$ pro $n\to \mathrm{\infty }$, pokud pro každou kompaktní množinu $K\subseteq X$

$(f_n){|}_K\to f{|}_K$

konverguje stejnoměrně na $K$ pro $n\to \mathrm{\infty }$. To znamená, že pro všechny kompaktní $K\subseteq X$ platí

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\in K}{\sup }{d}_Y(f_n(x),f(x))=0.$