Impulsová věta

Šablona:Neověřeno Impulzové větyŠablona:Poznámka se týkají mechanického pohybu těles a patří k základním vztahům klasické mechaniky. Jsou dvě:

• tzv. první věta impulzová: Součet všech vnějších sil působících na soustavu hmotných bodů (těleso) je roven časové změně celkové hybnosti soustavy (tělesa),
• druhá věta impulzová: Součet momentů všech vnějších sil, působících na soustavu hmotných bodů (těleso), je roven časové změně celkového momentu hybnosti soustavy (tělesa).

První věta impulsová

První věta impulsová říká, že časová změna hybnosti celkové hybnosti soustavy hmotných bodů se rovná výslednici externích sil, které působí na soustavu hmotných bodů. Tuto skutečnost lze formulovat následujícím způsobem

$\sum _n\frac{d{𝐩}_n}{dt}=\frac{d𝐩}{dt}={𝐅}^e$.

Odvození

Uvažujme soustavu hmotných bodů, pro jejichž výslednici sil platí podle 2. Newtonova zákona vztah

$\sum _n\frac{d{𝐩}_n}{dt}=\sum _n𝐅=\sum _n{𝐅}_n^i+\sum _n{𝐅}_n^e=\sum _n\sum _{k\ne n}{𝐅}_{nk}^i+\sum _n{𝐅}_n^e$.

Interní síla ${𝐅}_n^i$ je součtem jednotlivých silových působení zbývajících hmotných bodů soustavy, přičemž uvažujeme, že žádný bod sám na sebe nepůsobí nenulovou silou ${𝐅}_{nn}^i=0$. Předchozí vztah přepíšeme na tvar

$\frac{d}{dt}\sum _n{𝐩}_n=\sum _n\sum _{k\ne n}{𝐅}_{nk}^i+{𝐅}^e$,

kde ${𝐅}^e$ je výsledná externí síla působící na soustavu. Podle zákona akce a reakce platí ${𝐅}_{nk}^i=-{𝐅}_{kn}^i$, z čehož vyplývá první věta impulzová ve tvaru

$\frac{d}{dt}\sum _n{𝐩}_n=\frac{d}{dt}𝐩=\frac{d𝐩}{dt}={𝐅}^e$.

Zákon zachování hybnosti

Uvažujme soustavu hmotných bodů, jejíž výslednice externích sil je nulová. Takovou soustavu nazýváme izolovanou a z první věty impulsové vyplývá zákon o zachování hybnosti soustavy ve tvaru

$\frac{d𝐩}{dt}=0⟹𝐩=\text{konst.}$.

Druhá věta impulsová

Druhá věta impulsová říká, že časová změna momentu hybnosti celkové hybnosti soustavy hmotných bodů se rovná celkovému momentu externích sil, které působí na soustavu hmotných bodů vzhledem ke stejnému bodu. Tuto skutečnost lze formulovat následujícím způsobem

$\sum _n\frac{d{𝐋}_n}{dt}=\frac{d𝐋}{dt}={𝐌}^e$.

Odvození

Vynásobíme všechny pohybové rovnice použité v odvození první věty impulsové, čímž dostaneme

$\sum _n{𝐫}_n\times \frac{d{𝐩}_n}{dt}=\sum _n\sum _{k\ne n}{𝐫}_n\times {𝐅}_{nk}^i+\sum _n{𝐫}_n\times {𝐅}_n^e$.

Pro derivaci vektorového součinu platí

${𝐫}_n\times \frac{d{𝐩}_n}{dt}=\frac{d({𝐫}_n\times {𝐩}_n)}{dt}=\frac{d{𝐋}_n}{dt}=\frac{d{𝐫}_n}{dt}\times {𝐩}_n+{𝐫}_n\times \frac{d{𝐩}_n}{dt}={𝐫}_n\times \frac{d{𝐩}_n}{dt}$.

Dosadíme do předchozí rovnice a upravíme

$\frac{d}{dt}\sum _n{𝐋}_n=\sum _n\sum _{k\ne n}{𝐫}_n\times {𝐅}_{nk}^i+{𝐌}^e$.

První člen na pravé straně vyjádříme ve tvaru

$\sum _n\sum _{k\ne n}{𝐫}_n\times {𝐅}_{nk}^i=\frac{1}{2}\sum _n\sum _{k\ne n}({𝐫}_n\times {𝐅}_{nk}^i+{𝐫}_k\times {𝐅}_{kn}^i)=\frac{1}{2}\sum _n\sum _{k\ne n}({𝐫}_n\times {𝐅}_{nk}^i-{𝐫}_k\times {𝐅}_{nk}^i)=\frac{1}{2}\sum _n\sum _{k\ne n}({𝐫}_n-{𝐫}_k)\times {𝐅}_{nk}^i=0$.

Z čehož po dosazení dostáváme druhou větu impulsovou ve tvaru

$\frac{d}{dt}\sum _n{𝐋}_n=\frac{d}{dt}𝐋=\frac{d𝐋}{dt}={𝐌}^e$.

Zákon zachování momentu hybnosti

Uvažujme soustavu hmotných bodů, jejíž výslednice externích momentů sil je nulová (izolovaná soustava), pak z druhé věty impulsové vyplývá zákon o zachování momentu hybnosti soustavy ve tvaru

$\frac{d𝐋}{dt}=0⟹𝐋=\text{konst.}$

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie

Externí odkazy

• Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava: Fyzika I. Impulsové věty