Aritmeticko-geometrický průměr

Aritmeticko-geometrický průměr je speciální průměr dvou nezáporných čísel, označovaný tradičně M(x,y) nebo AGM(x,y). Lze jej vyjádřit jen pomocí vyšších transcendentních funkcí.

Definice

Definice aritmeticko-geometrického průměru užívá obvykle vyšší transcendentní funkce, limitu posloupnosti nebo určitý integrál, např.

$M(x,y)=\frac{\pi /2}{\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{(t^2+x^2)(t^2+y^2)}}=\frac{\pi (x+y)}{4K(\frac{x-y}{x+y})}$,

kde K je úplný eliptický integrál 1. druhu.

Zavedení pomocí posloupností

A.-g. průměr lze snadno definovat (a výhodně počítat) jako (společnou) limitu následujících posloupností, definovaných rekurentními rovnicemi 1. řádu

$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=\sqrt{a_n{b}_n};a_0=x,b_0=y$.

Vlastnosti

Hodnota a.- g. průměru leží vždy mezi hodnotou aritmetického a geometrického průměru. Platí také

$M(x,y)=M(\frac{x+y}{2},\sqrt{xy})=M(A(x,y),G(x,y))$,

což nejlépe vyplývá z definice pomocí posloupností.

Použití

Používá se k vyčíslení hodnot jiných transcendentních funkcí jako jsou eliptické integrály i např. k rychlému výpočtu číslic čísla π.

Externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Arithmetic-Geometric Mean." URL http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-GeometricMean.html, cit. 28. 6. 2018 (anglicky).