Argument hyperbolického kosinu

Graf funkce argument hyperbolického kosinu

Argument hyperbolického kosinu je hyperbolometrická funkce. Značí se $\mathrm{argcosh}x$, někdy také $\mathrm{arccosh}x$ nebo $\mathrm{ach}x$, případně ${\cosh }^{-1}x$.

Definice

Argument hyperbolického kosinu je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému kosinu definovanému na intervalu $⟨0,\mathrm{\infty })$. Platí $\mathrm{argcosh}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$.

Vlastnosti

• Definiční obor funkce

$⟨1,\mathrm{\infty })$

• Obor hodnot funkce

$⟨0,\mathrm{\infty })$

• Argument hyperbolického kosinu není sudá ani lichá funkce.

• Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického kosinu je $\cosh (x)$ na intervalu $⟨0;\mathrm{\infty })$.

• Derivace:

$\frac{d}{dx}\mathrm{argcosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

• Neurčitý integrál:

$\int \mathrm{argcosh}x\mathrm{d}x=x\mathrm{argcosh}x-\sqrt{x^2-1}+C$, kde $C$ je integrační konstanta.

• Zdola omezená, rostoucí funkce
• Neperiodická

Vzorce

• $\mathrm{argcosh}(\mathrm{i}x)=\mathrm{i}\arccos x$
• $\ln x=\mathrm{argcosh}\frac{x^2+1}{2x}$
• $|\mathrm{argcosh}x+\mathrm{argcosh}y|=\mathrm{argcosh}(xy\pm \sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}),x\ge 1,y\ge 1$
• $\mathrm{argcosh}x=\mathrm{argsinh}\sqrt{x^2-1},x\ge 1$
• $\mathrm{argcosh}x=\mathrm{argtanh}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x},x\ge 1$
• $\mathrm{argcosh}x=\mathrm{argcoth}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}},x>1$
• $\mathrm{argcosh}x=\ln (2x)-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\cdots )$

Užití

• Výpočet $x$-ové souřadnice na řetězovce, známe-li $y$-ovou hodnotu (stavebnictví, architektura).
• Řešení kubické rovnice $x^3+px+q=0$ pro případ, že $p<0$ a diskriminant $4p^3+27q^2>0$ (rovnice má v tomto případě právě jedno reálné řešení). Pak $x=-2\frac{|q|}{q}\sqrt{-\frac{p}{3}}\cosh [\frac{1}{3}\mathrm{arcosh}\left(\frac{-3|q|}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)]$.

Literatura

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-204-0607-7.